РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 505593 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41

Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Комбинации круглых тел, Конус, Шар

Сложная стереометрия. Круглые тела

Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус, параллельна плоскости основания конуса, делит объем конуса пополам. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение. Сделаем выносной чертеж осевого сечения конуса.

Выпишем объемы исходного конуса и отсеченного конуса (соответствует буквам MBN):

$V_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на HC в квадрате умножить на BH,$

$V_MBN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на ON в квадрате умножить на BO.$

Введем обозначение ∠OBN  =  α. Из прямоугольного треугольника BHC имеем $тангенс альфа = дробь: числитель: HC, знаменатель: BH конец дроби ,$ откуда $HC = BH умножить на тангенс альфа ;$ из треугольника BON имеем $тангенс альфа = дробь: числитель: ON, знаменатель: BO конец дроби ,$ откуда $ON = BO умножить на тангенс альфа .$

Так как $V_MBN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби V_ABC,$ то получим:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на HC в квадрате умножить на BH = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на ON в квадрате умножить на BO равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BH в кубе умножить на тангенс в квадрате альфа = BO в кубе умножить на тангенс в квадрате альфа равносильно$

$равносильно BH в кубе = 2 умножить на BO в кубе равносильно BH= BO корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Теперь: OH = OK = r  — радиус вписанной сферы.

$r = OH = BH минус BO = BO левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Из прямоугольного треугольника BKO получим:

$синус альфа = дробь: числитель: OK, знаменатель: BO конец дроби = дробь: числитель: r, знаменатель: BO конец дроби = корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1.$

Значит $альфа = арксинус левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка ,$ откуда $\angle B = 2 альфа = 2 арксинус левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Ответ: $2 арксинус левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

505593

$2 арксинус левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41

Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Комбинации круглых тел, Конус, Шар

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505593	$2 арксинус левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$