PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен 
Через сторону основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найдите площадь сечения.
Решение. Двугранный угол измеряется линейным углом, который находится, как угол между перпендикулярами, проведенными в каждой из плоскостей к общей линии пересечения. Построим в грани SCD апофему SL: так как пирамида SABCD правильная, то боковая грань является равнобедренным треугольником, поэтому апофема (являющаяся высотой) падает в середину стороны основания CD. В основании пирамиды проведем отрезок LK (K ∈ AB), перпендикулярный стороне CD (то есть параллельно сторонам AD и BC). Полученный угол ∠SLK является искомым линейным углом.
Из построения ясно, что стороны сечения DM и CN равны (отрезки, проведенные в равных треугольниках), полученное сечение является равнобедренной трапецией DMNC. Значит, чтобы найти ее площадь, удобнее всего найти ее основание MN и высоту PL.
Из формулы для объема пирамиды найдем высоту пирамиды:
Площадь основания S = 12 = 1.
Тогда из прямоугольного треугольника SOL по теореме Пифагора получим:
Из треугольника SKL по теореме косинусов получаем:
Далее, по свойству биссектрисы имеем SP : SL = KP : KL; обозначив SP за x, получим:
Значит SP = 0,9; PK = 0,6.
По теореме косинусов для треугольника SPL получаем, что 
то есть
Теперь рассмотрим SAB: MN || AB, откуда 
(по 3-м углам).
Тогда 
откуда 
Итак, площадь сечения равна:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |