PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 
а) Докажите, что 
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и 
Решение. а) Спроецируем вершину S на плоскость ABC. Получится точка O — центр правильного треугольника ABC. Значит,
а тогда, по теореме о трех перпендикулярах
б) Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле 
Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую 
Поэтому проекция точки M — точка 
— лежит на отрезке Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол 
— искомый.
где O — центр основания, значит, 
— средняя линия треугольника ASO поэтому 
Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |