РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 504544 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная пирамида, Угол между плоскостями

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

а)  Докажите, что в правильной треугольной пирамиде SABC, где S  — вершина пирамиды, прямая SC перпендикулярна прямой  AB.

б)  Пусть высота SO составляет $дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби$ от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

Решение. а)  Пусть проекция точки S на плоскость ABC  — точка O. O  — центр правильного треугольника  ABC, поэтому $CO\perp AB,$ а значит, по теореме о трех перпендикулярах, $SC\perp AB.$

б)  Пусть $SO=5x$ и $SM=7x.$ Тогда

$OM=x корень из: начало аргумента: 49 минус 25 конец аргумента =x корень из: начало аргумента: 24 конец аргумента =2x корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,$

$CO=2OM=4x корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Из треугольника COS находим:

$тангенс \angle SCO= дробь: числитель: OS, знаменатель: OC конец дроби = дробь: числитель: 5x, знаменатель: 4x корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби .$

Тогда искомый угол равен $арктангенс дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби .$

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

504544

$арктангенс дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби .$

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	504544	$арктангенс дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби .$