РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 502297 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Перебор случаев

Задача с параметром. Использование симметрий

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате минус |x минус a плюс 6| = |x плюс a минус 6| минус левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка в квадрате$

имеет единственный корень.

Решение. Запишем уравнение в виде

$x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка в квадрате = |x плюс a минус 6| плюс |x минус a плюс 6|.$

Если $x_0$ является корнем исходного уравнения, то и $минус x_0$ является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если $x_0= минус x_0,$ то есть $x=0.$ Подставим значение $x=0$ в уравнение:

откуда либо $|a минус 6| = 0 равносильно a = 6,$ либо $|a минус 6| = 2 равносильно a = 4$ или $a = 8.$

При $a = 6$ уравнение принимает вид $x в квадрате =2|x|.$ Корнями этого уравнения являются числа $минус 2, 0$ и $2,$ то есть уравнение имеет ровно три корня.

При $a = 4$ и при $a = 8$ уравнение принимает вид $x в квадрате плюс 4=|x минус 2| плюс |x плюс 2|.$

При $х меньше минус 2$ это уравнение сводится к уравнению $x в квадрате плюс 2x плюс 4=0,$ которое не имеет корней.

При $минус 2 меньше или равно x меньше или равно 2$ получаем уравнение $x в квадрате =0,$ которое имеет единственный корень.

При $x больше 2$ получаем уравнение $x в квадрате минус 2x плюс 4=0,$ которое не имеет корней.

Таким образом, при $a = 4$ и при $a = 8$ исходное уравнение имеет единственный корень x  =  0.

Ответ: $a=4$ и $a=8.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а.	3
Обоснованно получено одно из значений а.	2
Получен один из следующих результатов: –  задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; –  есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a=4$ и $a=8.$

502297

$a=4$ и $a=8.$

Классификатор алгебры: Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	502297	$a=4$ и $a=8.$