РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 502022 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Уравнения высших степеней

Уравнения. Логарифмические уравнения

а)  Решите уравнение $1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента плюс 42 правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $совокупность выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности правая квадратная скобка .$

Решение. Запишем исходное уравнение в виде:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 9x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в степени 4 плюс 42 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 9x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 21 правая круглая скобка равносильно$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 9x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в степени 4 плюс 42 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 9x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 21 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений 9x в квадрате плюс 1 = x в степени 4 плюс 21,x в степени 4 плюс 21 больше 0 конец системы . равносильно 9x в квадрате плюс 1 = x в степени 4 плюс 21 равносильно x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс 20 = 0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка =0.$ $равносильно система выражений 9x в квадрате плюс 1 = x в степени 4 плюс 21,x в степени 4 плюс 21 больше 0 конец системы . равносильно 9x в квадрате плюс 1 = x в степени 4 плюс 21 равносильно$
$равносильно x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс 20 = 0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка =0.$

Значит, либо $x в квадрате минус 4=0,$ откуда $x = минус 2$ или $x = 2,$ либо $x в квадрате минус 5=0,$ откуда $x = минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ или $x = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

б)  Поскольку $минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше минус 2 меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше 2 меньше корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,$ отрезку принадлежат корни $x=2$ и $x = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,\pm2 правая фигурная скобка ;$ б) $2, корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

502022

а) $левая фигурная скобка \pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,\pm2 правая фигурная скобка ;$ б) $2, корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Уравнения высших степеней

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	502022	а) $левая фигурная скобка \pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,\pm2 правая фигурная скобка ;$ б) $2, корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$