РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 501711 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 302;

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2013.

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 8, новая строка дробь: числитель: x в квадрате минус 3x минус 5, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате минус 6x плюс 3, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 2x плюс 1. конец системы .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 меньше 4 минус x меньше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0, 0 меньше 4 минус x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений x плюс 5 больше или равно 1, 3 меньше x меньше 4 конец системы . равносильно 3 меньше x меньше 4.$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0, 0 меньше 4 минус x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x плюс 5 больше или равно 1, 3 меньше x меньше 4 конец системы . равносильно 3 меньше x меньше 4.$

Второй случай: $4 минус x больше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0, 4 минус x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше x плюс 5 меньше или равно 1, x меньше 3 конец системы . равносильно минус 5 меньше x меньше или равно минус 4.$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0, 4 минус x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше x плюс 5 меньше или равно 1, x меньше 3 конец системы . равносильно$
$равносильно минус 5 меньше x меньше или равно минус 4.$

Решение первого неравенства исходной системы: $минус 5 меньше x меньше или равно минус 4$ или $3 меньше x меньше 4.$

2.  Решим второе неравенство системы:

$дробь: числитель: x в квадрате минус 3x минус 5, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате минус 6x плюс 3, знаменатель: x минус 6 конец дроби \leqslant2x плюс 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: x левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 6 конец дроби \leqslant2x плюс 1 равносильно$

$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0.$ $равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0.$

Решение второго неравенства системы: $x меньше или равно 3$ или $4 меньше x меньше 6.$

3.  Пересекая полученные множества получаем решение системы: $левая круглая скобка минус 5; минус 4 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 5; минус 4 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3