РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 501691 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений логарифм по основанию 5 _ минус _x дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 1 в степени 0 конец дроби \geqslant минус 10,x в кубе плюс 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 50x в квадрате плюс x минус 7, знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant1. конец системы \left$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби \geqslant минус 10 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка \geqslant минус 10 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби \geqslant минус 10 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка \geqslant минус 10 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби \geqslant минус 10 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка \geqslant минус 10 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 меньше 5 минус x меньше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0, 0 меньше 5 минус x меньше 1 конец системы равносильно система выражений 0 меньше x плюс 4\leqslant1,4 меньше x меньше 5. конец системы решенийнет.$

Второй случай: $5 минус x больше 1.$ Имеем:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0, 5 минус x больше 1 конец системы равносильно система выражений x плюс 4\geqslant1,x меньше 4. конец системы равносильно минус 3 меньше или равно x меньше 4.$

2.  Решим второе неравенство системы:

$x в кубе плюс 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 50x в квадрате плюс x минус 7, знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant1 равносильно x в кубе плюс 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 50x в квадрате , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в кубе минус 6x в квадрате , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений новая строка x\leqslant минус 3, новая строка x=0, новая строка 2 меньше или равно x меньше 7. конец совокупности .$ $x в кубе плюс 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 50x в квадрате плюс x минус 7, знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant1 равносильно$
$равносильно x в кубе плюс 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 50x в квадрате , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в кубе минус 6x в квадрате , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений новая строка x\leqslant минус 3, новая строка x=0, новая строка 2 меньше или равно x меньше 7. конец совокупности .$

3.  Пересекая полученные множества найдём решение исходной системы неравенств: $левая фигурная скобка минус 3;0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2;4 правая круглая скобка .$

Таким образом, решением системы неравенств является числовой промежуток $левая квадратная скобка 2;4 правая круглая скобка$ и числа 0 и −3.

Ответ: $левая фигурная скобка минус 3;0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2;4 правая круглая скобка .$

----------

Дублирует задание 501946.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных	0
Максимальный балл	3

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр

Ключ