PDF-версии: 
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3.
а) Докажите, что 
б) Вычислите объём пирамиды MPTA.
Решение. а) Заметим, что в треугольниках TBC и PCB углы B и С равны, сторона BC общая, и
Тогда, записывая теорему косинусов для сторон CT и BP этих треугольников, получаем искомое неравенство.
б) Проведём высоту AD треугольника 
В тоже время AD — высота пирамиды MPTA, опущенная из вершины A на плоскость основания 
Площадь треугольника MPT составляет 
Следовательно,
Найдём объём пирамиды:
Ответ: 24.
Приведём другое решение пyнкта б).
Знаем, что 
где D — середина 
Поскольку AD — медиана треугольника ABC, AD — его высота, значит, 
кроме того, 
(поскольку по условию 
). Таким образом, 
то есть является высотой пирамиды MPTA. Находим площадь треугольника MPT:
Тогда 
следовательно,
Приведем решение пункта а) Евгения Железняк.
Пусть точка K — середина MB. Треугольники BKC и BPC равны, поскольку BK = CP, BC — общая, ∠PBC = ∠KCB, следовательно, CK = BP. В правильном треугольнике BMC отрезок CK является медианой, следовательно, и высотой. Тогда CK — перпендикуляр к прямой BM, проведенный из точки C, а CT — наклонная, следовательно, 
тогда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |