РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 501548 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Замена переменной

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 1=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Левая часть уравнения определена, если $косинус x не равно 0$ и $синус x не равно 0.$ При этом $дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 1 минус синус в квадрате x, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби минус 1.$

Поэтому уравнение можно переписать в виде $дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 2=0.$

Решив последнее уравнение как квадратное относительно $дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби ,$ получим $дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби =2$ или $дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби = минус 1.$ Значит, либо $синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z ;$

либо $синус x= минус 1,$ что невозможно в силу условия $косинус x не равно 0.$

б)  Отберем с помощью единичной окружности отберём корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка :$ $x= минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Приведём другое решение.

а)  ##

$дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 1=0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус в квадрате x, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби минус 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби = 0, косинус x не равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 1=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус в квадрате x, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби минус 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби = 0, косинус x не равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 1=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус в квадрате x, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби минус 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби = 0, косинус x не равно 0 равносильно$
$равносильно$

$равносильно дробь: числитель: косинус в квадрате x минус синус в квадрате x минус синус x, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби = 0, косинус x не равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 1 минус 2 синус в квадрате x минус синус x = 0 новая строка синус x не равно 0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0 новая строка синус x не равно 0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$ $равносильно дробь: числитель: косинус в квадрате x минус синус в квадрате x минус синус x, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби = 0, косинус x не равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 1 минус 2 синус в квадрате x минус синус x = 0 новая строка синус x не равно 0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0 новая строка синус x не равно 0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений новая строка синус x = минус 1, новая строка синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби новая строка синус x не равно 0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, новая строка x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $равносильно система выражений новая строка синус x = минус 1, новая строка синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби новая строка синус x не равно 0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, новая строка x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

б)  ##

Отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ принадлежит корень $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

501548

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Методы алгебры: Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	501548	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$