РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 500970 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Координаты (x, a)

Задача с параметром. Координаты (x, a)

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на отрезке $левая квадратная скобка 0,1 правая квадратная скобка$ существует хотя бы одно число x, удовлетворяющее неравенству $a плюс |a плюс 1 минус x|\leqslant3x минус x в квадрате минус 1.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$a плюс |a плюс 1 минус x|\leqslant3x минус x в квадрате минус 1 равносильно |x минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка | меньше или равно 3x минус x в квадрате минус a минус 1 равносильно$

$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x минус a минус 1 меньше или равно 3x минус x в квадрате минус a минус 1, новая строка x минус a минус 1 больше или равно минус 3x плюс x в квадрате плюс a плюс 1 \endaligned равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, новая строка a меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2x минус 1. \endaligned$

Неравенство $x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0$ определяет на плоскости Oxa полосу, заключенную между прямыми $x=0$ и $x=2.$ Неравенство $a\leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2x минус 1$ задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой. Заметим, также, что последнее неравенство влечет также выполнение условия $3x минус x в квадрате минус a минус 1 больше или равно 0,$ необходимого при снятии модуля, поскольку, при $x принадлежит левая квадратная скобка 0;2 правая квадратная скобка ,$ парабола $a= минус x в квадрате плюс 3x минус 1$ лежит не ниже параболы $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2x минус 1.$

На рисунке видно, что на интервале $левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка$ есть x, удовлетворяющие неравенству, только если $a\leqslant0,5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность , 0,5 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Верно составлена система условий. Решение выполнено верно, но из ответа исключена правая граница промежутка	3
Верно составлена система условий, но при решении допущена ошибка, из=за которой ответ включает лишний промежуток	2
Верно составлена система условий, но её решение в корне ошибочно	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность , 0,5 правая квадратная скобка .$

500970

$левая круглая скобка минус бесконечность , 0,5 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Координаты (x, a)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500970	$левая круглая скобка минус бесконечность , 0,5 правая квадратная скобка .$