РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 500967 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = минус косинус x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что $синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = косинус в квадрате x.$ Поэтому уравнение можно переписать в виде $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс косинус x=0,$ откуда $косинус x левая круглая скобка косинус x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0.$ Значит, либо $косинус x=0,$ откуда $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z ,$ либо $косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k$ или $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая квадратная скобка .$ Получим числа: $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k|k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

500967

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k|k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500967	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k\|k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$