РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500963 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.2 Рациональные неравенства

Простые системы неравенств. Рациональные, иррациональные, показательные неравенства

Решите систему неравенств: $левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 в степени x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 5 в степени x минус 2, знаменатель: 5 в степени x минус 3 конец дроби больше или равно 2, новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 25x в квадрате минус 10x минус 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 25x в квадрате минус 10x минус 8, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате больше или равно 4. \endaligned .$

Решение. Решим первое неравенство. Сделаем замену $z=5 в степени x ,$ получаем:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: z минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: z минус 2, знаменатель: z минус 3 конец дроби \geqslant2 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка z минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка z минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка z минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка z минус 3 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений 1 меньше z\leqslant2, 3 меньше z меньше или равно 5. конец совокупности$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $0 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 5 2$ или $логарифм по основанию 5 3 меньше x\leqslant1.$

Решим второе неравенство. Сделав замену $t= дробь: числитель: 25x в квадрате минус 10x минус 8, знаменатель: 2 конец дроби ,$ получаем:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс t правая круглая скобка в квадрате больше или равно 4 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби минус t правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 равносильно t не равно 0.$

Значит, $x не равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби$ и $x не равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$ Заметим, что $минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше 0,$ а $логарифм по основанию 5 3 меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби меньше 1.$

Таким образом, получаем решение исходной системы: $левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 5 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 5 3; дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 5 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 5 3; дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответ в обоих неравенствах системы неравентсв	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500963

$левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 5 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 5 3; дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.2 Рациональные неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500963	$левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 5 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 5 3; дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$