РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 12 № 500254 Добавить в вариант

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.2.5 Точки экстремума функции;

3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции;

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков;

4.2.1.2* Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка;

4.2.1.1* Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка;

4.2.1.3* Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке;

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания.

Наибольшее и наименьшее значение функций. Исследование тригонометрических функций

Найдите наибольшее значение функции $y=2 косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ на отрезке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= минус 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$система выражений новая строка минус 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ $система выражений новая строка минус 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи , знаменатель: 3 конец дроби =2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1.$ $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи , знаменатель: 3 конец дроби =$
$=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1.$ $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$=2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи , знаменатель: 3 конец дроби =$
$=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1.$