Ре­ше­ние. Воз­мож­ны два слу­чая:

1)  точка F лежит между A и C (рис. 1);

2)  точка A лежит между F и C (рис. 2).

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай.

по­это­му тре­уголь­ни­ки CDF и CDB равны (обща сто­ро­на и все углы равны). Зна­чит, BC  =  FC  =  AC − AF  =  2.

Тогда ис­ко­мый ра­ди­ус равен

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай.

∠AFD = ∠AED = ∠ABC, по­это­му тре­уголь­ни­ки CDF и CDB равны. Зна­чит, BC  =  FC  =  AC + AF  =  6. Тогда ис­ко­мый ра­ди­ус равен

Ответ:

За­ме­ча­ние: на самом деле при вни­ма­тель­ном рас­смот­ре­нии ока­зы­ва­ет­ся, что пер­вый слу­чай не­воз­мо­жен, так как ока­зы­ва­ет­ся, что   — самой длин­ной из сто­рон тре­уголь­ни­ка, а та­ко­го быть не может. Ошиб­ка была до­пу­ще­на со­ста­ви­те­ля­ми за­да­чи. При про­вер­ке, пол­ный балл вы­став­лял­ся, либо в слу­чае, когда были разо­бра­ны оба слу­чая и верно по­лу­че­ны оба от­ве­та, либо в слу­чае, когда была объ­яс­не­на не­воз­мож­ность пер­во­го слу­чая и дан толь­ко один ответ.