РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500214 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ 10.07.2012 по математике. Вторая волна. Вариант 501

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка меньше или равно 82, новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x минус 4 конец дроби меньше или равно 1. конец системы .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=3 в степени x .$

$y в квадрате минус 81y меньше или равно 82 равносильно y в квадрате минус 81y минус 82 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка y минус 82 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно минус 1 меньше или равно y меньше или равно 82.$ $y в квадрате минус 81y меньше или равно 82 равносильно y в квадрате минус 81y минус 82 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка y минус 82 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно минус 1 меньше или равно y меньше или равно 82.$

Тогда $минус 1 меньше или равно 3 в степени x меньше или равно 82,$ откуда находим решение первого неравенства системы $x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82.$

2.  Решим второе неравенство системы:

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1.$

Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x плюс 6 больше 1 равносильно x больше минус 5.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно 0 меньше дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно x плюс 6 равносильно$ $система выражений новая строка дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x плюс 4, знаменатель: x конец дроби больше или равно 0, новая строка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0, новая строка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше 0, конец системы .$

откуда находим: $левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Полученные значения переменной удовлетворяют условию $x больше минус 5.$

Второй случай: $0 меньше x плюс 6 меньше 1 равносильно минус 6 меньше x меньше минус 5.$ Имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше или равно x плюс 6 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x плюс 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно левая квадратная скобка \beginmatrix x меньше или равно минус 4, минус 1 меньше или равно x меньше 0. \endmatrix .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше или равно x плюс 6 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x плюс 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно левая квадратная скобка \beginmatrix x меньше или равно минус 4, минус 1 меньше или равно x меньше 0. \endmatrix .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше или равно x плюс 6 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x плюс 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно левая квадратная скобка \beginmatrix x меньше или равно минус 4, минус 1 меньше или равно x меньше 0. \endmatrix .$

Учитывая условие $0 меньше x плюс 6 меньше 1,$ получаем: $минус 6 меньше x меньше минус 5.$ Решение второго неравенства исходной системы: $левая круглая скобка минус 6, минус 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

3.  Поскольку $4 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82,$ получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ: $левая круглая скобка минус 6, минус 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500214

$левая круглая скобка минус 6, минус 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82 правая квадратная скобка .$

Источник: ЕГЭ 10.07.2012 по математике. Вторая волна. Вариант 501

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500214	$левая круглая скобка минус 6, минус 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82 правая квадратная скобка .$