РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500194 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений новая строка дробь: числитель: 9 в степени x минус 3 в степени x минус 90, знаменатель: 3 в степени x минус 82 конец дроби меньше или равно 1, новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 16x больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка 2 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 16x в степени 4 . конец системы .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы.

Сделаем замену $y=3 в степени x .$

$дробь: числитель: y в квадрате минус y минус 90, знаменатель: y минус 82 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 2y минус 8, знаменатель: y минус 82 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: y минус 82 конец дроби меньше или равно 0 равносильно левая квадратная скобка \beginmatrix y меньше или равно минус 2, 4 меньше или равно y меньше 82. \endmatrix .$ $дробь: числитель: y в квадрате минус y минус 90, знаменатель: y минус 82 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 2y минус 8, знаменатель: y минус 82 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: y минус 82 конец дроби меньше или равно 0 равносильно левая квадратная скобка \beginmatrix y меньше или равно минус 2, 4 меньше или равно y меньше 82. \endmatrix .$

Учитывая, что $3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 0,$ получаем: $4 меньше или равно 3 в степени x меньше 82,$ откуда находим решение первого неравенства системы $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 4 меньше или равно x меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82.$

2.  Решим второе неравенство системы. Для этого неравенства $x больше 0.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 16x больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 16x в степени 4 , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 0,5x конец дроби равносильно логарифм по основанию 2 x плюс 4 больше или равно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 1 конец дроби .$

Сделаем замену $z= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x.$

$z плюс 4 больше или равно дробь: числитель: 2z плюс 2, знаменатель: z минус 1 конец дроби равносильно дробь: числитель: z в квадрате плюс z минус 6, знаменатель: z минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка минус 3 меньше или равно z меньше 1, новая строка z больше или равно 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка минус 3 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x меньше 1, новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше или равно 2 конец совокупности . равносильно x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $z плюс 4 больше или равно дробь: числитель: 2z плюс 2, знаменатель: z минус 1 конец дроби равносильно дробь: числитель: z в квадрате плюс z минус 6, знаменатель: z минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка минус 3 меньше или равно z меньше 1, новая строка z больше или равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка минус 3 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x меньше 1, новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше или равно 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

3.  Учитывая, что $1 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 4 меньше 2$ и $логарифм по основанию 3 82 больше 4,$ получаем множество решений исходной системы неравенств.

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 4;2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500194

$левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 4;2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500194	$левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 4;2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 82 правая круглая скобка .$