РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500113 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства, однородные, относительно показательных функций, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 2 в степени x плюс 32 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше или равно 33, новая строка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка . конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=2 в степени x ,$ тогда:

$y плюс дробь: числитель: 32, знаменатель: y конец дроби больше или равно 33 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 33y плюс 32, знаменатель: y конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 32 правая круглая скобка , знаменатель: y конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше y меньше или равно 1, новая строка y больше или равно 32. конец совокупности .$ $y плюс дробь: числитель: 32, знаменатель: y конец дроби больше или равно 33 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 33y плюс 32, знаменатель: y конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 32 правая круглая скобка , знаменатель: y конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше y меньше или равно 1, новая строка y больше или равно 32. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной. Имеем:

$совокупность выражений 0 меньше 2 в степени x меньше или равно 1, 2 в степени x больше или равно 32 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше или равно 0, x больше или равно 5. конец совокупности .$

Решим второе неравенство системы. Используя формулу $логарифм по основанию левая круглая скобка a в квадрате правая круглая скобка b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию a b,$ получаем:

$2 логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$ $2 логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений 4x в квадрате плюс 1 больше 0, 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 больше 0, 4x в квадрате плюс 1 больше или равно 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно 0, x больше или равно 4. конец совокупности .$ $равносильно система выражений 4x в квадрате плюс 1 больше 0, 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 больше 0, 4x в квадрате плюс 1 больше или равно 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно 0, x больше или равно 4. конец совокупности .$

Пересекая полученные множества, получим решение исходной системы: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500113

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства, однородные, относительно показательных функций, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500113	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$