РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 500007 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Прямая треугольная призма, Расстояние от точки до прямой, Прямоугольный параллелепипед

Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой

Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а угол ACB равен 120°.

а)  Докажите, что $AB_1 больше AC_1.$

б)  Найдите расстояние от точки A до прямой B₁C₁, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Решение. а)  Треугольник ABC тупоугольный, с тупым углом C, поэтому $AB больше AC.$ Значит, $AB_1= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BB_1 в квадрате конец аргумента больше корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс CC_1 в квадрате конец аргумента =AC_1.$

б)  Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую $B_1C_1$ и проведем в плоскости грани $CBB_1C_1$ прямую EF, параллельную прямой $C_1C.$ Так как $C_1C\bot ABC,$ то и $EF\botABC,$ а, значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость $ABC.$ Поскольку $B_1C_1\parallel BC,$ то $AE\bot BC,$ а, следовательно, и $AF\bot CB$ согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:

1)  из $\Delta ACF:AF=AC синус \angle ACF=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 60 градусов =9;$

2)  из $\Delta AEF: AE= корень из: начало аргумента: AF в квадрате плюс EF в квадрате конец аргумента =15.$

Ответ: 15.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

500007

15.

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500007	15.