РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 500001 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Прямоугольный параллелепипед, Расстояние от точки до прямой

Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, сторона которого равна $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а угол ВАD равен 60°.

а)  Докажите, что прямые $AC_1$ и BD перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние от точки А до прямой C₁D₁, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

Решение. а)  В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому $AC\perp BD.$ AC является проекцией $AC_1$ на плоскость ABCD, поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, $AC_1\perp BD.$

б)  Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую $C_1D_1$ и проведем в плоскости грани $CDD_1C_1$ прямую EF, параллельную прямой $D_1D.$ $D_1D\bot левая круглая скобка ACD правая круглая скобка ,$ поэтому и $EF\bot левая круглая скобка ACD правая круглая скобка ,$ а значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку $D_1C_1\parallel DC,$ то $AE\bot CD,$ а следовательно, и $AF\bot CD,$ согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:

1)  из $\Delta ADF$ : $AF=AD синус \angle ADF=4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 60 градусов =6;$

2)  из $\Delta AEF$ : $AE= корень из: начало аргумента: AF конец аргумента в квадрате плюс EF в квадрате =10.$

Ответ: 10.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 10.

500001

10.

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500001	10.