РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 485964 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Однородные тригонометрические уравнения, Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к однородным

а)  Решите уравнение $синус x плюс левая круглая скобка косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка Пи , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Используя формулу $косинус в квадрате альфа минус синус в квадрате альфа = косинус 2 альфа ,$ заменим выражение в скобках на $косинус x,$ получаем однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

$синус x плюс левая круглая скобка косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно синус x плюс косинус x=0.$

Если $косинус x=0,$ то из уравнения следует $синус x=0,$ что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Значит, на множестве корней уравнения $косинус x не равно 0.$ Разделим обе части уравнения на $косинус x:$

$тангенс x плюс 1=0 равносильно тангенс x= минус 1 равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Составим двойное неравенство: $Пи \leqslant минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно целая часть: 2, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 .$ Следовательно, $k=2.$ Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

485964

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	485964	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$