РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д14 C4 № 485945 Добавить в вариант

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и треугольники

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 40, 29 и 30 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Решение. Точка C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠ACB  =  90°.

По теореме Пифагора $AB= корень из: начало аргумента: AC в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс BC в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 40 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 30 в квадрате правая круглая скобка =50.$ Пусть CD  — высота треугольника ABC. Тогда:

$CD= дробь: числитель: AC умножить на BC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 40 умножить на 30, знаменатель: 50 конец дроби =24,$

$BD= корень из: начало аргумента: BC в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус CD в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 900 минус 576 конец аргумента =18.$

Из прямоугольного треугольника находим:

$DM= корень из: начало аргумента: CM в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус CD в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 29 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 24 в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$ $DM= корень из: начало аргумента: CM в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус CD в квадрате правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 29 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 24 в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$

Если точка M лежит между точками A и D, то $MB=MD плюс BD=18 плюс корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$

Следовательно,

$S_BMC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MB умножить на CD=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 24 умножить на левая круглая скобка 18 плюс корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента правая круглая скобка =216 плюс 12 корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$ $S_BMC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MB умножить на CD=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 24 умножить на левая круглая скобка 18 плюс корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента правая круглая скобка =$
$=216 плюс 12 корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$

Если точка M лежит между B и D , то $MB=BD минус MD=18 минус корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$

Следовательно,

$S_BMC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MB умножить на CD=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 24 умножить на левая круглая скобка 18 минус корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента правая круглая скобка =216 минус 12 корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$ $S_BMC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MB умножить на CD=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 24 умножить на левая круглая скобка 18 минус корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента правая круглая скобка =$
$=216 минус 12 корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$

Ответ: $216\pm 12 корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из- за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $216\pm 12 корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$

485945

$216\pm 12 корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	485945	$216\pm 12 корень из: начало аргумента: 265 конец аргумента .$