РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 485940 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $4 синус в квадрате x минус 12 синус x плюс 5 =0.$

б)  Укажите корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ,2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Сделаем замену $синус x=y$ и получим квадратное уравнение $4y в квадрате минус 12y плюс 5=0,$ откуда, $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$ Уравнение $синус x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби$ не имеет решений, а из уравнения $синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ находим $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Найдем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ,2 Пи правая квадратная скобка .$ Решим неравенства:

$минус Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби равносильно k=0, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби равносильно k=0, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби равносильно$
$равносильно k=0, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$

$минус Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби равносильно k=0,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$ $минус Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби равносильно$
$равносильно k=0,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ,2 Пи правая квадратная скобка$ принадлежат корни $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

485940

a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	485940	a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$