РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 485932 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

Дано уравнение $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка = косинус x.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Используем формулу приведения и синуса двойного угла:

$синус 2x= косинус x равносильно 2 синус x косинус x= косинус x равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$ $синус 2x= косинус x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x= косинус x равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=0, новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=0, новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

б)  С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$ Находим: $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Примечание.

Уравнение может быть также решено при помощи следующей теоремы:

$косинус x = косинус y равносильно x = \pm y плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

485932

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	485932	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$