РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 484652 Добавить в вариант

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Найдите все целые значения m и k такие, что $3 в степени m плюс 3 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 3m правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка =2010.$

Решение. Заметим, что из условия следует, что $k принадлежит N .$ Далее имеем:

1.  Если $m=0,$ то каждое из слагаемых равно $1,$ и при $k=2010$ равенство будет верно.

2.  Если $m меньше 0,$ левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом $3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ и знаменателем $3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$ сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем:

$3 в степени m плюс 3 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 3m правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка минус k правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка минус k правая круглая скобка плюс \ldots = дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $3 в степени m плюс 3 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 3m правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка минус k правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка минус k правая круглая скобка плюс \ldots =$
$= дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Таким образом, в этом случае уравнение решений не имеет.

3.  Если $m больше 0,$ то $3 в степени m плюс 3 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 3m правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка =3 в степени m умножить на дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 3 в степени m минус 1 конец дроби ,$ исходное уравнение равносильно уравнению:

$3 в степени m умножить на дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 3 в степени m минус 1 конец дроби =2010 равносильно 3 в степени m левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =2010 умножить на левая круглая скобка 3 в степени m минус 1 правая круглая скобка равносильно 3 в степени m левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =3 умножить на 670 умножить на левая круглая скобка 3 в степени m минус 1 правая круглая скобка .$ $3 в степени m умножить на дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 3 в степени m минус 1 конец дроби =2010 равносильно 3 в степени m левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =2010 умножить на левая круглая скобка 3 в степени m минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени m левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =3 умножить на 670 умножить на левая круглая скобка 3 в степени m минус 1 правая круглая скобка .$ $3 в степени m умножить на дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 3 в степени m минус 1 конец дроби =2010 равносильно$
$равносильно 3 в степени m левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =2010 умножить на левая круглая скобка 3 в степени m минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени m левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка k умножить на m правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =3 умножить на 670 умножить на левая круглая скобка 3 в степени m минус 1 правая круглая скобка .$

Числа $670$ и $3 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка минус 1$ на три нацело не делятся, следовательно, $m=1,$ откуда $3 в степени k минус 1=670 умножить на 2$ и $3 в степени k =1341.$ Последнее уравнение натуральных решений не имеет.

Ответ: $m=0,k=2010.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Ответ: $m=0,k=2010.$

484652

$m=0,k=2010.$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484652	$m=0,k=2010.$