Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система 
имеет единственное решение.
Решение. Если 
то уравнение 
задает окружность 
с центром в точке 
радиуса 
а если 
то оно задаёт окружность 
с центром в точке 
того же радиуса (см. рис.).
При положительных значениях параметра a уравнение 
задаст окружность 
с центром в точке 
радиуса 
Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность 
имеет единственную общую точку с объединением окружностей 
и 
Из точки C проведём луч 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью 
где лежит между C и 
Так как 
то 
При 
или 
окружности и не пересекаются. При 
окружности и имеют две общие точки. При 
или 
окружности и касаются.
Из точки C проведём луч 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью 
где лежит между точками C и 
Так как 
то 
При 
или 
окружности и 
не пересекаются. При 
окружности и имеют две общие точки. При 
или 
окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как 
то условию задачи удовлетворяют только числа 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| C помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены так же одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обоснованно. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |