PDF-версии: Тип Д14 C4 № 484606 
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие
Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и четырёхугольники
i
Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB = a и CD = b.
Решение. Возможны два случая a > b и a < b.
Первый случай. Четырехугольник описан около окружности, следовательно, AD + BC = AB + CD = a + b. Четырехугольник вписан в окружность, значит, ∠BAD + ∠BCD=180°, но ∠MCD + ∠BCD = 180°, откуда ∠BAD = ∠MCD, следовательно, 
с коэффициентом подобия 
Обозначим через P периметр треугольника ABM, тогда если P1 — периметр треугольника CDM,
Поскольку 
получаем: 
Второй случай. Аналогично случаю 1 имеем:
Ответ: 
или 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины Ра | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: или
или 484606
или