РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 484602 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства высших степеней, Системы неравенств

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.5 Показательные уравнения;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений 7 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 7 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 171, \log _3 дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс \log _3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 9 правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 10 правая круглая скобка . конец системы .$

Решение. В первом неравенстве вынесем общий множитель за скобки, а во втором воспользуемся тем, что для $b больше 0,c больше 0$ и $a больше 1$ справедлива равносильность:

$логарифм по основанию a b плюс логарифм по основанию a c меньше или равно логарифм по основанию a d равносильно bc меньше или равно d.$

Тогда

$система выражений 7 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 7 в степени x плюс 7 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 171, логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 9 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 10 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений 7 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 7 плюс 7 в квадрате правая круглая скобка больше 171, дробь: числитель: x в квадрате плюс 3x минус 9, знаменатель: x конец дроби меньше или равно x в квадрате плюс 3x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 10, x больше 0,x в квадрате плюс 3x минус 9 больше 0 конец системы . равносильно$ $система выражений 7 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 7 в степени x плюс 7 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 171, логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 9 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 10 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 7 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 7 плюс 7 в квадрате правая круглая скобка больше 171, дробь: числитель: x в квадрате плюс 3x минус 9, знаменатель: x конец дроби меньше или равно x в квадрате плюс 3x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 10, x больше 0,x в квадрате плюс 3x минус 9 больше 0 конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений 7 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 3, дробь: числитель: x в квадрате плюс 3x минус 9, знаменатель: x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: x в кубе плюс 3x в квадрате минус 10x плюс 1, знаменатель: x конец дроби , x больше 0,x в квадрате плюс 3x минус 9 больше 0 конец системы .\undersetx больше 0\mathop равносильно система выражений x минус 1 больше логарифм по основанию 7 3, x в кубе плюс 2x в квадрате минус 13x плюс 10 больше или равно 0, x больше 0,x в квадрате плюс 3x минус 9 больше 0. конец системы .$

Заметим, что $x=1$   — корень кубического неравенства последней системы, значит,

$x в кубе плюс 2x в квадрате минус 13x плюс 10= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 10 правая круглая скобка .$

$система выражений новая строка x больше 1 плюс логарифм по основанию 7 3, новая строка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x больше 0, новая строка x в квадрате плюс 3x минус 9 больше 0 конец системы .\undersetx больше 1\mathop равносильно система выражений x больше 1 плюс логарифм по основанию 7 3, x минус 2 больше или равно 0, x больше дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 45 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x больше 1 плюс логарифм по основанию 7 3, x больше или равно 2 конец системы . равносильно x больше или равно 2.$ $система выражений новая строка x больше 1 плюс логарифм по основанию 7 3, новая строка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x больше 0, новая строка x в квадрате плюс 3x минус 9 больше 0 конец системы .\undersetx больше 1\mathop равносильно система выражений x больше 1 плюс логарифм по основанию 7 3, x минус 2 больше или равно 0, x больше дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 45 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 1 плюс логарифм по основанию 7 3, x больше или равно 2 конец системы . равносильно x больше или равно 2.$

Ответ: $левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верны ответ в одном из неравенств системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

484602

$левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства высших степеней, Системы неравенств

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.5 Показательные уравнения;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484602	$левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$