РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 484590 Добавить в вариант

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $дробь: числитель: x в степени 4 плюс 8x в кубе плюс 16x в квадрате минус 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка плюс 17, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби меньше или равно 2.$

Решение. Выполним преобразования:

$дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка плюс 16, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби меньше или равно 2 равносильно x в квадрате плюс 4x минус 4 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби меньше или равно 2.$ $дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка плюс 16, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x минус 4 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате плюс 4x минус 4 конец дроби меньше или равно 2.$

Сделаем замену: $a=x в квадрате плюс 4x минус 4.$ Получим: $a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби меньше или равно 2,$ откуда

$дробь: числитель: a в квадрате минус 2a плюс 1, знаменатель: a конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: a конец дроби меньше или равно 0.$

Решая это неравенство методом интервалов (см. рис.), находим: $a=1$ или $a меньше 0.$

Если $x в квадрате плюс 4x минус 4=1,$ то $x=1$ или $x= минус 5.$

Если $x в квадрате плюс 4x минус 4 меньше 0,$ то $минус 2 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше x меньше минус 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $левая фигурная скобка 1; минус 5 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус 2 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; минус 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек	2
Полученный ответ неверен, но решение содержит переход от исходного неравенства к верным рациональным неравенствам	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

484590

$левая фигурная скобка 1; минус 5 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус 2 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; минус 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484590	$левая фигурная скобка 1; минус 5 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус 2 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; минус 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$