РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 1 № 29671 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

Планиметрия. Решение прямоугольного треугольника

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $AC = 4,$ $тангенс A = дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби .$ Найдите AB.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби ,$ АС  =  4. Найдите АВ.

Заметим, что $1 плюс тангенс в квадрате A = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате A конец дроби ,$ то есть

$дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате A = 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 1 плюс дробь: числитель: 33, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби .$

Угол А острый, его косинус положительный, поэтому $косинус A = дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби .$ Далее имеем:

$AB= дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби = 4 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби = 7.$

Ответ: 7.

Примечание.

Можно было использовать определение косинуса: $косинус A = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби ,$ следовательно, $дробь: числитель: 4, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби ,$ откуда AB  =  7.

Приведем другое решение:

Найдем BC:

$BC=AC умножить на тангенс A=4 умножить на дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби = корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента .$

По теореме Пифагора найдем AB:

$AB= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 16 плюс 33 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 49 конец аргумента =7.$

Ответ: 7,5

29671

7,5

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

5.1.1 Треугольник.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	29671	7,5