РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 1 № 27932 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

Планиметрия. Вписанные окружности

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны  $2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен полуразности суммы длин катетов и длины гипотенузы:

$r = дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2a минус a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = 1.$

Ответ: 1.

Приведём другое решение.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его удвоенной площади к периметру. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Таким образом, для катетов $a = b = 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и гипотенузы $с = корень из: начало аргумента: a в квадрате плюс b в квадрате конец аргумента = a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ имеем:

$r = дробь: числитель: 2S, знаменатель: P конец дроби = дробь: числитель: ab, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 2a плюс a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: a левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = 1.$ $r = дробь: числитель: 2S, знаменатель: P конец дроби = дробь: числитель: ab, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 2a плюс a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: a левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = 1.$

Ответ: 1

27932

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	27932	1