Ре­ше­ние. Чтобы найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на:

Далее по фор­му­ле на­хо­дим:

Ответ: 25.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Про­ве­дем вы­со­ту CH пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH и най­дем ее:

Сле­до­ва­тель­но,

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC, по­лу­чим от­ку­да

При­ве­дем ре­ше­ние Павла Юк­ля­е­ва.

Тре­уголь­ник ABC яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным, по­сколь­ку 48² < 40² + 40². В рав­но­бед­рен­ном ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке центр опи­сан­ной окруж­но­сти О лежит на вы­со­те, про­ве­ден­ной к ос­но­ва­нию.

Про­ве­дем вы­со­ту CH, най­дем ее из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOH по­лу­чим: а тогда

При­ве­дем ре­ше­ние Ар­те­ма Абро­си­мо­ва.

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Далее под­ста­вим числа:

Зная, най­дем

От­рез­ки AO и OC равны ис­ко­мо­му ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти R, по­это­му по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка AOC по­лу­ча­ем:

от­ку­да, под­став­ляя числа, за­клю­ча­ем:

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 25.

Еще одно ре­ше­ние при­ве­де­но в за­да­че 53843.