Решение. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

Ответ: 24.

Решение. Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

Ответ: 1.

Решение. Выразим площадь двумя способами:

Тогда,

Ответ: 6.

Решение. Внешний угол треугольника равен сумме несмежных с ним углов этого треугольника. Поэтому

Ответ: 62.

Решение. Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Их сумма равна 180°, то есть 9x = 180°, откуда x = 20. Значит, меньший угол равен 2x = 2 · 20° = 40°.

Ответ: 40.

Решение.

Ответ: 38.

Решение. Так как AD — биссектриса, она делит угол пополам. Имеем

Ответ: 74.

Решение. Поскольку AD — биссектриса Угол ADB является внешним углом треугольника ADC, поэтому он равен сумме двух не смежных с ним углов:

Ответ: 52.

Решение. Треугольник ABC равнобедренный, значит, углы при его основании равны.

Ответ: 48.

Решение. Cумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360 градусам, следовательно,

Ответ: 115.

Решение. Cумма углов в выпуклом четырёхугольнике DOEC равна 360°, следовательно,

Ответ: 130.

Приведём другое решение.

Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен 58° + 72° = 130°.

Решение. Рассмотрим угол AOB в треугольнике AOB:

Ответ: 119.

Решение. Угол AOC внешний угол треугольника AOН, поэтому он равен сумме углов НAO и AНO. Тем самым, угол AOC равен 26° + 90° = 116°.

Ответ: 116.

Решение. Треугольник ADC — равнобедренный, значит, угол DAC равен углу ACD, как углы при его основании. Треугольник ADB тоже равнобедренный, значит, угол ADB равен углу ABD, как углы при его основании, причем

Ответ: 36.

Приведём другое решение.

Пусть ∠DAB = α, тогда ∠DAC = α, поскольку AD — биссектриса. Тогда ∠ACD = α, поскольку треугольник ADC равнобедренный. Тогда ∠ADB = 2α как внешний угол треугольника ADC, и ∠ABD = 2α, поскольку треугольник DAB равнобедренный. Получили, что в треугольнике DAB углы α, 2α и 2α. Вместе 5α = 180°, тогда α = 36°. Это и есть искомый наименьший угол С треугольника АВС.

Решение. Треугольник CBD равнобедренный, углы C и D при его основании равны, а их сумма равна внешнему углу при вершине В, то есть углу В треугольника ABC. Сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому ∠B = 180° − ∠A − ∠C = 74°. Следовательно, ∠С = ∠D = 37°.

Ответ: 37.

Приведем решение Расиля Садыкова.

Угол CBD — внешний угол треугольника ABC, равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, следовательно, ∠CBD = 44° + 62° = 106°. Треугольник CBD равнобедренный, углы C и D в нем равны, следовательно,

Решение. треугольники CAD и EAD равны по двум сторонам и углу, лежащему между ними, значит, Тогда

Ответ: 40.

Решение. Треугольники CBD и ECD равны по двум сторонам и углу, лежащему между ними, значит, ∠BDC = ∠CDE. Тогда

Учитывая, что и получим

Ответ: 56.

Решение. ##

Ответ: 49.

Приведем решение Дани Хикканова.

В треугольнике ABC

В треугольнике ACF

В треугольнике AOF

Решение. Угол между высотами равен углу между сторонами, к которым они проведены:

Ответ: 82.

Решение. Выполним построения, как показано на рисунке. Найдем вначале острый угол между продолжениями высот — угол DOB, искомый угол является смежным с ним.

Прямоугольные треугольники ADC и AEO имеют равные вертикальные острые углы А, поэтому другие их острые углы также равны. Следовательно,

Смежный с найденным угол равен

Ответ: 138.

Приведём другое решение.

Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен 33° + 105° = 138°.

Примечание.

Формулировка задания некорректна: высоты тупоугольного треугольника не пересекаются. Составители хотели спросить про угол между продолжениями высот. Этот угол мы и нашли.

Решение.

Ответ: 24.

Примечание.

Заметим, что треугольник является тупоугольным, поскольку половина одного из его углов по условию равна 66°, следовательно, этот угол равен 132 градуса.

Решение. Рассмотрим два случая.

1. Средняя линия DE параллельна стороне AB.

Треугольник ABC подобен треугольнику DEC с коэффициентом 2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

2. Средняя линия DE не параллельна стороне AB. Пусть для определёности D — середина стороны AC. Тогда DE — медиана треугольника ACE, и площади треугольников CDE и AED равны. CE — медиана треугольника ABC, и площади треугольников CBE и ACE равны.

Ответ: 152.

-------

Задача исключена из открытого банка.

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Ответ: 7,5.

Решение. Cумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360 градусам, следовательно,

Ответ: 134.

Решение. Cумма углов в выпуклом многоугольнике равна 360 градусам, следовательно,

Ответ: 137.

Решение. Сумма внешнего угла при вершине B и самого угла B равна 180°. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол C равен

Ответ: 77.

Решение. Cумма углов в выпуклом четырехугольнике ADOE равна 360 градусам, следовательно,

Ответ: 139.

Решение. Угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к ним, поэтому ∠DOE = ∠CAE = 180° −∠CAB = 45°.

Ответ: 45.

Решение. Выразим величину угла B из формулы площади треугольника:

Ответ: 150.