а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Перенесем
в правую часть, заметим, что сумма
не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии
возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем:

Выразим множители, стоящие в левой части уравнения, через
В силу основного тригонометрического тождества
Чтобы преобразовать первый множитель, воспользуемся формулой
откуда получим:
Далее применим формулы косинуса тройного угла
и косинуса половинного угла 

Пусть
тогда имеем:



Вернемся к исходной переменной, получим уравнение
откуда
Учитывая условие
окончательно получаем: 
б) Чтобы найти корни на заданном отрезке, решим двойное неравенство:

Так как
правая часть полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим левую часть:

Поскольку
подходит также значение k = −2. Поскольку
осталось проверить значение k = −3. Покажем, что 

Итак k = −3, k = −2 или k = −1. Найденным значениям k соответствуют корни
и 
Ответ: а)
б) 
Приведем идею другого решения.
Выразим
через
для этого воспользуемся тем, что

Тогда

Заметим, что
обозначим
и сведем задачу к уравнению

откуда получаем уравнение
с корнями −1 и
Корень −1 посторонний, поскольку обращает знаменатель в 0. Корень
приводит к уравнению
которое, с учетом ОДЗ и условия возведения в квадрат, дает решение 
Приведем решение Ларисы Матвеевой.
Перенесем
в правую часть, заметим, что сумма
не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии
возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем:


Заметим, что левая часть уравнения неположительна, а правая часть неотрицательна, следовательно, равенство может иметь место только тогда, когда обе части равны 0.
Найдем значения x, при которых равна 0 правая часть:

Учитывая ограничение
получим 
При данном значении x левая часть уравнения (*) также обращается в 0, следовательно, данное значение x является корнем исходного уравнения.
Критерии проверки:Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
---|
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ответ: а)

б)

546982
а)

б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 315. (Часть C)