PDF-версии: 1. Тип 12 № 484557
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Решим уравнение
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 484557
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
б) 
Далее имеем:
для каждой из полученных серий корней находим, что заданному промежутку принадлежат числа 
и только они.
б) 
б) 
тогда исходное уравнение запишется в виде 
получим: 
получим: 
Получим числа: 
б) 
тогда исходное уравнение можно преобразовать так 
б) 
б) 
б) 
удовлетворяют только числа 
б) 
что невозможно, или 
откуда 
или 
б) 
б) 
Получим число 
б) 
б) 
Получаем: 
откуда 
или 
или 
то есть 
или 
при условии 
Если 
то 
или 
Числа 
не удовлетворяют условию 
то 
или 
б) 
![\[ равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=0, новая строка синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k.k принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .\]](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/4c/4c42baad8cfa29db3d85d82add1e64be.svg)
Получим числа: 
б) 
то 
откуда 
то 
откуда 
или 
имеет корни 
Учитывая, что 
получаем: 
откуда 
либо если 
откуда 
поэтому из корней квадратного уравнения заданному отрезку принадлежит число 
Корни тригонометрического уравнения отберем на единичной окружности.
б) 
тогда 
откуда 
или 
и 
; б) 
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к положительному числу, поэтому исследовать ОДЗ не требуется. 
откуда получаем 
откуда 
или 
находим: 
или 
находим: 
Получим числа: 
б)
тогда имеем: 
Получим число: 
б) 
тогда имеем: 
б) 
тогда уравнение примет вид:
б) 
б) 
б) 
тогда имеем:
б) 
которому соответствует корень 
б) 
и решим полученное уравнение: 
б) 
тогда исходное уравнение примет вид:
б) 
б) 
под знак корня, необходимо рассмотреть два случая:
имеем:
имеем:
и 
при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим 
б) 
и 
б) 
т. е. корни, лежащие на промежутке 
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получаем:
б) 
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получим числа 
и 
б) 
имеем:
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.), получим 
б) 
При этом условии обе части уравнения неотрицательны и можно возвести их в квадрат. Выполним преобразования:
получим 
это уравнение не имеет решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся формулами двойного угла. Получим:
удовлетворяют только 
и 
и 
б) 
то есть 
При этих условиях применим к правой части формулу 
и получим равносильное уравнение
б) корней нет.
получим в левой части
перейдем к половинному аргументу в правой части и сведем уравнение к однородному тригонометрическому второй степени: 
б) 
Для второй серии имеем:
б) 
б) 
и преобразуем уравнение 
отберём с помощью единичной окружности. Заметим, что 
тогда 
а 
Подходит только корень 
б) 
исходное уравнение равносильно следующим:
![равносильно \[ совокупность выражений новая строка синус x= минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 6 конец дроби новая строка синус x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности .\]](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/db/db94a58806ccbd5d994375f21ff6cc9c.svg)
б) 
исходное уравнение равносильно следующим:
удовлетворяет только 
и 0.
б) 
0.
б) 
или 
то аргументы обоих логарифмов в исходном уравнении положительны. Следовательно, эти серия дают решения уравнения для всех целых k. Если 
или 
то логарифмы не определены.
при помощи единичной окружности (см. рис.). Получим числа 
и 
б) 
тогда: 
откуда 
удовлетворяет заданному интервалу. 
б) 
удобно решить, используя геометрический смысл модуля. Действительно, с геометрической точки зрения левая часть уравнения представляет собой разность расстояний от точки с координатой t до точек с координатами 5 и 1 на числовой оси. Эта разность равна в точке 
для точек, лежащих на числовой оси правее числа 2, эта разность расстояний будет меньше двух, а для точек, лежащих левее — больше двух.
имеем: ![t в квадрате минус 5 корень из [ 4]2 умножить на t плюс 4 корень из (2) =0 равносильно совокупность выражений t=4 корень из [ 4]2,t= корень из [ 4]2. конец совокупности .](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/93/936f5e881334d9e6dc3e7ff901ff81ca.svg)
![совокупность выражений 2 в степени (\textstyle синус в квадрате x) =4 корень из [ 4]2, 2 в степени (\textstyle синус в квадрате x) = корень из [ 4]2 конец совокупности равносильно совокупность выражений 2 в степени (\textstyle синус в квадрате x) =2 в степени textstyle дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби , 2 в степени (\textstyle синус в квадрате x) =2 в степени textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/4e/4e866a40a5f1ce052982ac0becd8a159.svg)
б) 
и 
![[0; Пи ]](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/5f/5f5921769447d5836395c4b1a77a4376.svg)
лежат корни 
б) 
тогда оно эквивалентно совокупности:
и 
б) 
в правую часть, заметим, что сумма 
не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии 
возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем:
В силу основного тригонометрического тождества 
Чтобы преобразовать первый множитель, воспользуемся формулой 
откуда получим: 
Далее применим формулы косинуса тройного угла 
и косинуса половинного угла 
тогда имеем:
откуда 
Учитывая условие 
окончательно получаем: 
правая часть полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим левую часть: 
подходит также значение k = −2. Поскольку 
осталось проверить значение k = −3. Покажем, что 
и 
б) 
через 
для этого воспользуемся тем, что
обозначим 
и сведем задачу к уравнению
с корнями −1 и 
Корень −1 посторонний, поскольку обращает знаменатель в 0. Корень 
приводит к уравнению 
получим 
при помощи единичной тригонометрической окружности. Получаем число 
б) 
тогда это эквивалентно совокупности:
б) 
и 
исходное уравнение эквивалентно совокупности
и 
б) 
равносильно уравнению 
при условии 
Возведем обе части исходного уравнения в квадрат при условии 
получим:
и 
б) 
Поэтому при условии
следовательно, 
На отрезке 
лежит число −1.
б) −1.
С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
б) 
получим:
найдем при помощи тригонометрической окружности. Получим 
б) 
(⁎). Имеем:
равна π, поэтому из найденной серии решений в отрезок может попасть не более одного корня. Следовательно, число 
соответствующее 
— единственное решение, лежащее в этом отрезке.
б) 
б) 
и 
исходное уравнение сводится к квадратному относительно показательной функции:
б) 
б) 
Получаем:
с помощью единичной окружности. Получаем 
б) 
б) 
б) 
б) 
получаем:
и 
б) 
поэтому найденный корень лежит на заданном отрезке.
б) 
б) 
при помощи единичной окружности. Подходят 
б) 
б) 
б) 
при помощи единичной окружности. Подходят 
б) 
исходное уравнение эквивалентно уравнению:
б) 
исходное уравнение эквивалентно следующим:
получим 
то есть 
Проверим для найденных решений выполнение условия 
Используем периодичность синуса, применим формулу приведения, получаем:
равно −1 для всех нечетных k и только для них. Следовательно, решениями уравнения (⁎) являются числа 
где k — любое нечетное число. Эти числа удовлетворяют условию 
поскольку обращают косинус в нуль. Тем самым все они являются корнями исходного уравнения.
б) 
то есть при 
откуда 
или 
При 
— положителен. Число −4 — посторонний корень.
то есть если 
откуда 
или 
При 
— положительно. Число −2 — посторонний корень.
б) 2.
исходное уравнение равносильно следующим::
б) 
б) 
Находим: 
б) 
тогда
б) 
При таких условиях числитель должен быть равен нулю:
б) 
получим:
б) 
и 
Преобразуем его при этом условии:
б) 
положительно и отлично от единицы при условиях 
При этих условиях уравнение эквивалентно следующим:
и 
получим 
получим 
, что также не удовлетворяет условию. Следовательно, условию эквивалентности удовлетворяет только 
б) 
получаем:
лежит корень 
б)