1. Задание 13 № 501689
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа: 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Однородные тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Классификатор базовой части: 2.1.4 Тригонометрические уравнения, 2.1.5 Показательные уравнения
Далее имеем:
для каждой из полученных серий корней находим, что заданному промежутку принадлежат числа 
и только они.
б) 
б) 
тогда исходное уравнение запишется в виде 
получим: 
получим: 
Получим числа: 
б) 
тогда исходное уравнение можно преобразовать так 
б) 
б) 
б) 
удовлетворяют только числа 
б) 
что невозможно, или 
откуда 
или 
б) 
б) 
Получим число 
б) 
б) 
Получаем: 
откуда 
или 
или 
то есть 
или 
при условии 
Если 
то 
или 
Числа 
не удовлетворяют условию 
то 
или 
б) 
, то 
Поэтому 
Получим числа: 
б) 
, то 
, откуда 
, то 
, откуда 
или 
имеет корни 
Учитывая, что 
, получаем: 
, откуда 
, либо если 
, откуда 
поэтому из корней квадратного уравнения заданному отрезку принадлежит число 
Корни тригонометрического уравнения отберем на единичной окружности.
б) 
, тогда 
, откуда 
или 
и 
; б) 
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к положительному числу, поэтому исследовать ОДЗ не требуется. 
откуда получаем 
откуда 
или 
находим: 
или 
находим: 
Получим числа: 
б)
, тогда имеем: 
Получим число: 
б) 
, тогда имеем: 
б) 
тогда уравнение примет вид:
б) 
б) 
б) 
тогда имеем:
б) 
тогда
при этом 
Поэтому в заданном отрезке лежат корни 
б) 
которому соответствует корень 
б) 
и решим полученное уравнение: 
б) 
тогда исходное уравнение примет вид:
.
б) 
б) 
под знак корня, необходимо рассмотреть два случая:
имеем:
и 
при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим 
б) 
и 
б) 
т. е. корни, лежащие на промежутке 
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получаем:
б) 
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получим числа 
и 
б) 
имеем:
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.), получим 
б) 
При этом условии обе части уравнения неотрицательны и можно возвести их в квадрат. Выполним преобразования:
получим 
это уравнение не имеет решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся формулами двойного угла. Получим:
удовлетворяют только 
и 
и 
б) 
то есть 
При этих условиях применим к правой части формулу 
и получим равносильное уравнение
б) корней нет.
.
перейдем к половинному аргументу, используя формулы: 
Получим:
б) 
Для второй серии имеем:
б) 
б) 
и преобразуем уравнение 
отберём с помощью единичной окружности. Заметим, что 
тогда 
а 
Подходит только корень 
б) 
исходное уравнение равносильно следующим:
б) 
исходное уравнение равносильно следующим:
удовлетворяет только 
и 0.
б) 
0.
б) 
или 
то аргументы обоих логарифмов в исходном уравнении положительны. Следовательно, эти серия дают решения уравнения для всех целых k. Если 
или 
то логарифмы не определены.
при помощи единичной окружности (см. рис.). Получим числа 
и 
б) 
тогда: 
откуда 
удовлетворяет заданному интервалу. 
б) 
имеем: 
б) 
и 
лежат корни 
б) 
тогда оно эквивалентно совокупности:
и 
б) 
в правую часть, заметим, что сумма 
не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии 
возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем:
В силу основного тригонометрического тождества 
Чтобы преобразовать первый множитель, воспользуемся формулой 
откуда получим: 
Далее применим формулы косинуса тройного угла 
и косинуса половинного угла 
тогда имеем:
откуда 
Учитывая условие 
окончательно получаем: 
правая часть полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим левую часть: 
подходит также значение k = −2. Поскольку 
осталось проверить значение k = −3. Покажем, что 
и 
б) 
через 
для этого воспользуемся тем, что
обозначим 
и сведем задачу к уравнению
с корнями −1 и 
Корень −1 посторонний, поскольку обращает знаменатель в 0. Корень 
приводит к уравнению 
при помощи единичной тригонометрической окружности. Получаем число 
б) 
тогда это эквивалентно совокупности:
б) 
и 
исходное уравнение эквивалентно совокупности
и 
б) 
б)