PDF-версии: В исправленном виде дублирует 504567.
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.
Решение. а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете
Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику 
Рассмотрим углы четырёхугольника 
Если 
то
а 
Значит,
Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180° , следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.
б) Радиус окружности, проходящей через точки 
и E, равен
Из подобия треугольников находим
откуда 
Тогда
Поэтому
Следовательно, искомый радиус равен
Ответ: 
Примечание.
В авторской формулировке задачи длина гипотенузы была равна 4, а длина проведённой к ней высоты — 3. Однако высота треугольника не больше медианы, исходящей из той же вершины. Поэтому в прямоугольном треугольнике длина высоты, опущенной на гипотенузу, не больше половины длины гипотенузы. Условие исправили.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |