а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику

Рассмотрим углы четырёхугольника Если то

Значит,

Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180° , следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.

б) Радиус окружности, проходящей через точки и E, равен

Из подобия треугольников находим

Тогда

Поэтому

Следовательно, искомый радиус равен

Ответ:

Примечание.

В авторской формулировке задачи длина гипотенузы была равна 4, а длина проведённой к ней высоты — 3. Однако высота треугольника не больше медианы, исходящей из той же вершины. Поэтому в прямоугольном треугольнике длина высоты, опущенной на гипотенузу, не больше половины длины гипотенузы. Условие исправили.