6. Найдите корень уравнения $\log _\tfrac17 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = минус 2.$

Решение. Последовательно получаем:

$\log _\tfrac17 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = минус 2 равносильно 7 минус x= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 7 минус x=49 равносильно x= минус 42.$ $\log _\tfrac17 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = минус 2 равносильно$
$равносильно 7 минус x= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 7 минус x=49 равносильно x= минус 42.$ $\log _\tfrac17 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = минус 2 равносильно$
$равносильно 7 минус x= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 7 минус x=49 равносильно$
$равносильно x= минус 42.$

Ответ: −42.

Ответ: -42

26658

-42

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

9. Решите уравнение $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1.$

Решение. Заметим, что $1= логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 5$ и используем формулу $логарифм по основанию a b плюс логарифм по основанию a c= логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка bc.$ Имеем:

$\log _5 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка =\log _5 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 5 равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 3 минус x больше 0, новая строка 7 минус x=5 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус x больше минус 3, новая строка 7 минус x=15 минус 5x конец системы . равносильно система выражений новая строка x меньше 3, новая строка x=2 конец системы . равносильно x=2.$ $равносильно система выражений новая строка 3 минус x больше 0, новая строка 7 минус x=5 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус x больше минус 3, новая строка 7 минус x=15 минус 5x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x меньше 3, новая строка x=2 конец системы . равносильно x=2.$

Ответ: 2.

Ответ: 2

77381

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.3.2 Логарифм произведения, частного, степени;

1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

10. Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка 49=2.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение. Решим уравнение:

$\log _x минус 549=2 равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате =49, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x минус 5=\pm 7, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно x минус 5=7 равносильно x=12.$ $\log _x минус 549=2 равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате =49, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x минус 5=\pm 7, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно x минус 5=7 равносильно x=12.$ $\log _x минус 549=2 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате =49, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x минус 5=\pm 7, новая строка x минус 5 больше 0, новая строка x минус 5 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно x минус 5=7 равносильно x=12.$

Итак, уравнение имеет только один корень.

Приведем решение Михаила Сергеевича.

$\log _x минус 5}49=2 равносильно \log _x минус 5}7 в квадрате =2 равносильно 2\log _x минус 5}7=2 равносильно \log _x минус 5}7=1 равносильно x минус 5=7 равносильно x=12.$

Ответ: 12.

Ответ: 12

77382

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

11. Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка = 4.$

Решение. Используем формулу $логарифм по основанию левая круглая скобка a в степени m правая круглая скобка a в степени n = дробь: числитель: n, знаменатель: m конец дроби$ :

$логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в кубе правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 8x минус 4, знаменатель: 3 конец дроби =4 равносильно 8x минус 4=12 равносильно x=2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в кубе правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 8x минус 4, знаменатель: 3 конец дроби =4 равносильно$
$равносильно 8x минус 4=12 равносильно x=2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в кубе правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 8x минус 4, знаменатель: 3 конец дроби =4 равносильно$
$равносильно 8x минус 4=12 равносильно x=2.$

Приведем другое решение.

$логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =8 в степени 4 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка равносильно 8x минус 4=12 равносильно x=2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =8 в степени 4 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 8x минус 4=12 равносильно x=2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =4 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =8 в степени 4 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 8x минус 4=12 равносильно x=2.$

Ответ: 2.

Ответ: 2

315120

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.3.2 Логарифм произведения, частного, степени;

1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

12. Найдите корень уравнения $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4.$

Решение. Используя формулу $a в степени левая круглая скобка логарифм по основанию b c правая круглая скобка = c в степени левая круглая скобка логарифм по основанию b a правая круглая скобка ,$ получаем:

$2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 равносильно система выражений левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 2 правая круглая скобка = 4, 5x минус 3 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac13 правая круглая скобка = 4 равносильно 5x минус 3 = 64 равносильно x = 13,4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 равносильно система выражений левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 2 правая круглая скобка = 4, 5x минус 3 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac13 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно 5x минус 3 = 64 равносильно x = 13,4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 2 правая круглая скобка = 4, 5x минус 3 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac13 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно 5x минус 3 = 64 равносильно x = 13,4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 2 правая круглая скобка = 4, 5x минус 3 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac13 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно 5x минус 3 = 64 равносильно$
$равносильно x = 13,4.$

Ответ: 13,4.

Приведем решение Магомеда Гаджиумарова.

Последовательно получаем:

$2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 2 в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка = 2 равносильно 5x минус 3 = 8 в квадрате равносильно$
$равносильно 5x = 67 равносильно x = 13,4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 2 в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка = 2 равносильно$
$равносильно 5x минус 3 = 8 в квадрате равносильно$
$равносильно 5x = 67 равносильно x = 13,4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 2 в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка = 2 равносильно$
$равносильно 5x минус 3 = 8 в квадрате равносильно$
$равносильно 5x = 67 равносильно x = 13,4.$

Примечание.

Следует отличать это уравнение от похожего, но другого: $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 4.$ В этом случае имеем:

$2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 2 в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 5x минус 3 = 2 равносильно логарифм по основанию 8 5x = 5 равносильно$
$равносильно 5x = 8 в степени 5 равносильно x= 6553,6.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 2 в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 5x минус 3 = 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 5x = 5 равносильно$
$равносильно 5x = 8 в степени 5 равносильно x= 6553,6.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 2 в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 5x минус 3 = 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 5x = 5 равносильно 5x = 8 в степени 5 равносильно$
$равносильно x= 6553,6.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 5x минус 3 правая круглая скобка = 2 в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 5x минус 3 = 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 8 5x = 5 равносильно$
$равносильно 5x = 8 в степени 5 равносильно$
$равносильно x= 6553,6.$

Ответ: 13,4

315535

13,4

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.1.7 Свойства степени с действительным показателем;

1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень;

1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования;

2.1.5 Показательные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

14. Решите уравнение $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка .$ Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение. Приведём логарифмы к одному основанию и внесем минус под знак логарифма правой части:

$логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = 6, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 6 = 0, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x = 2, x = минус 3, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x = 2.$ $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби равносильно система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = 6, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 6 = 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x = 2, x = минус 3, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x = 2.$ $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = 6, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 6 = 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x = 2, x = минус 3, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x = 2.$ $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = 6, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 6 = 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x = 2, x = минус 3, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x = 2.$ $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = 6, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 6 = 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x = 2, x = минус 3, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно x = 2.$