PDF-версии: 
Дана правильная призма ABCDA1B1C1D1. На ребрах CD, CC1 и A1B1 отметили точки K, L и M соответственно. Известно, что A1M = MB1, DK = 2KC, а четырёхугольник AKLM — равнобедренная трапеция.
а) Докажите, что CL = 2LC1.
б) Найдите объём призмы ABCDA1B1C1D1, если AA1 = 7.
Решение. а) Из условия следует параллельность прямых AM и KL. Прямая ML пересекает плоскость ABCD, в которой лежит прямая AK, а значит, параллельными эти прямые быть не могут. Прямоугольные треугольники AA1M и LCK подобны по острому углу, откуда
Длина отрезка KC втрое меньше длины ребра призмы, а длина отрезка A1M — вдвое меньше. Значит, 
то есть 
и 
б) Пусть 
По теореме Пифагора в треугольниках ADK, MB1C1, MC1L соответственно находим:
Из равенства 
получаем уравнение:
Найдем объем призмы:
Ответ: б) 196.
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Пусть 
тогда:
Уравнение плоскости AKM имеет вид 
Подставляя координаты точек A, K и М, получаем:
Плоскость AKM не проходит через начало координат, а потому 
Имеем:
Пусть точка L имеет координаты 
Подставим их в уравнение плоскости, получим: 
откуда находим: 
Cледовательно, точка L делит ребро CC1 в отношении 2 :1, считая от вершины С. Это и требовалось доказать.
б) В выбранной системе координат 
Сечение является равнобедренной трапецией, поэтому 
Из условия следует, что 
тогда искомый объем равен
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |