Ре­ше­ние. a)  Да. Вто­рая цифра может быть еди­ни­цей, тогда две дру­гие цифры суть 2 и 7, двой­кой (дру­гие 4 и 7), трой­кой (дру­гие 6 и 7), или чет­вер­кой (дру­гие 7 и 8). Число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда де­лит­ся на 11. При­зна­ку удо­вле­тво­ря­ют числа 748 и 847.

б)  Возь­мем число По усло­вию а по при­зна­ку де­ли­мо­сти где n  — целое число. Но ра­вен­ства и про­ти­во­ре­чи­вы, по­сколь­ку цифры не­от­ри­ца­тель­ны.

в)  Чтобы ис­ко­мое число было наи­боль­шим, по­ста­вим в стар­шие раз­ря­ды 9, 7 и 6, по­лу­чим число вида По­про­бу­ем по­до­брать остав­ши­е­ся цифры и рас­ста­вить их тре­бу­е­мым об­ра­зом. Чтобы число де­ли­лось на 11, число

долж­но де­лить­ся на 11. Най­дем наи­мень­шее и наи­боль­шее зна­че­ния S:

Среди цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 ровно три чет­ных, по­это­му при любой рас­ста­нов­ке зна­ков + и − между ними по­лу­чит­ся не­чет­ное число. Зна­чит, а по­то­му воз­мо­жен лишь слу­чай S  =  11. Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, когда

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее воз­мож­ное число равно 97 635 241.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  97 635 241.

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, число 242.

б)  Нет. Возь­мем число По усло­вию а по­то­му ни одна из цифр не пре­вы­ша­ет 5. По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 11 по­лу­ча­ем, что где n  — целое число. Из ра­венств и на­хо­дим: что не­воз­мож­но при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях c, не пре­вы­ша­ю­щих 5.

в)  По­ста­вим в стар­шие раз­ря­ды числа цифры 1 и 2, по­лу­чим число вида По­про­бу­ем по­до­брать остав­ши­е­ся цифры и рас­ста­вить их тре­бу­е­мым об­ра­зом. Чтобы число де­ли­лось на 11, число

долж­но де­лить­ся на 11.Най­дем наи­мень­шее и наи­боль­шее зна­че­ния S:

Среди цифр 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 ровно три чет­ных, по­это­му при любой рас­ста­нов­ке зна­ков + и − между ними по­лу­чит­ся не­чет­ное число. Зна­чит, а по­то­му воз­мо­жен лишь слу­чай S  =  11. Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, когда

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее воз­мож­ное число равно 12 738 495.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  12 738 495.