РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 19 № 519668 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

а)  Приведите пример трехзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей.

б)  Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?

в)  Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?

Решение. а)  Например, годится число $625=5 в степени 4 .$ Действительно, оно имеет ровно 5 делителей: 1, 5, 25, 125, 625. Вообще, если число n можно разложить на простые множители: $n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка ,$ то количество натуральных делителей числа n равно $\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка .$

б)  Существует: число $2 в квадрате умножить на 3 в степени 4 =324$ имеет ровно $левая круглая скобка 1 плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 4 правая круглая скобка =15$ делителей. Есть и другие примеры.

в)  Разложим наше трехзначное число n на простые множители: $n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка ,$ и пусть Пусть $альфа _1 больше или равно альфа _2\geqslant... .$ Заметим, что верно равенство: $\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка =20.$ Поскольку $20=20 умножить на 1 = 10 умножить на 2=5 умножить на 4=5 умножить на 2 умножить на 2,$ то n имеет вид $p_1 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка ,$ или $p_1 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на p_2,$ или $p_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на p_2 в кубе ,$ или $p_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на p_2 умножить на p_3.$ Рассмотрим эти четыре случая.

1.  Даже $2 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка больше 1000,$ поэтому число не может быть трехзначным.

2.  Наименьшее число вида $p_1 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на p_2$ это $2 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на 3=1536.$ Таким образом, этот случай тоже невозможен.

3.  Минимальное число вида $p_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на p_2 в кубе$ это $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 в кубе =432.$ Кроме него годится еще число $3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 2 в кубе =648.$

4.  Подходят следующие числа вида $p_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на p_2 умножить на p_3:$ $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 5=240,$ $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 7=336,$ $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 11=528,$ $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 13=624,$ $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 17=816,$ $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 19=912,$ $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7=560,$ $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 11=880,$ $3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 2 умножить на 5=810.$

Таким образом, ровно 20 натуральных делителей имеют 11 трехзначных чисел.

Ответ: а)  625; б)  да; 324; в)  11.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  625; б)  да; 324; в)  11.

519668

а)  625; б)  да; 324; в)  11.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

2.  Тип 19 № 519677 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

а)  Приведите пример натурального числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б)  Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в)  Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

Решение. а)  Например, годится число $729=3 в степени 6 .$ Действительно, оно имеет ровно 7 делителей: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Вообще, если число n можно разложить на простые множители: $n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка ,$ то количество натуральных делителей числа n равно $\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка .$

б)  Существует: число $2 в степени 6 умножить на 3 в квадрате =576$ имеет ровно $левая круглая скобка 1 плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 правая круглая скобка =21$ делитель. Есть и другие примеры.

в)  Разложим наше трехзначное число n на простые множители: $n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка ,$ и пусть $альфа _1 больше или равно альфа _2\geqslant....$ Заметим, что верно равенство: $\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка =18.$ Так как $18=18 умножить на 1 = 9 умножить на 2=6 умножить на 3=3 умножить на 3 умножить на 2,$ то n имеет вид $p_1 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка ,$ или $p_1 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на p_2,$ или $p_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на p_2 в квадрате ,$ или $p_1 в квадрате умножить на p_2 в квадрате умножить на p_3.$ Рассмотрим эти четыре случая.

1.  Даже $2 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка больше 1000,$ поэтому число не может быть трехзначным.

2.  Наименьшее подходящее число вида $p_1 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на p_2$ это $2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на 3=768.$ Следующее по величине $2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на 5=1280$ уже не годится.

3.  Минимальное число вида $p_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на p_2 в квадрате$ это $2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 3 в квадрате =288.$ Кроме него годятся еще числа $2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 5 в квадрате =800$ и $3 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 2 в квадрате =972.$

4.  Годятся следующие числа вида $p_1 в квадрате умножить на p_2 в квадрате умножить на p_3$ : $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 5=180,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 7=252,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 11=396,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 13=468,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 17=612,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 19=684,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 23=828,$ $2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 3=300,$ $2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7=700,$ $2 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 3=588,$ $2 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 5=980,$ $3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 2=450,$ $3 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 2=882.$

Таким образом, ровно 18 натуральных делителей имеют 17 трехзначных чисел.

Ответ: а)  729; б)  да; в)  17.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  729; б)  да; в)  17.

519677

а)  729; б)  да; в)  17.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	519668	а)  625; б)  да; 324; в)  11.
2	519677	а)  729; б)  да; в)  17.