PDF-версии: 
Найдите все целочисленные значения параметра а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Пусть (x, y) — решение системы. Тогда при любом значении параметра a левая часть первого уравнения системы есть сумма расстояний от точки (x, y) до точек (1, a) и (5, a), лежащих на прямой y = a , параллельной оси абсцисс. Но расстояние между точками (1, a) и (5, a) равно 4, и поэтому решение первого уравнения — множество точек (x, y), причём 1 ≤ x ≤ 5, y = a, поскольку иначе
Следовательно, данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке 1 ≤ x ≤ 5.
Рассмотрим квадратичную функцию
Её график — парабола, направленная ветвями вверх. Поскольку свободный 
при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. В этом случае единственный положительный корень функции 
лежит на отрезке 1 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему:
Поскольку любое решение полученного неравенства должно удовлетворять условию 
то есть 
и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только 
Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
Ответ: −2, ±1, 0.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены одно или несколько значений a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения корней квадратичной функции (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. Известно, что в этом случае единственный положительный корень функции 
лежит на отрезке 2 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда 
и 
то есть 
и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только 
Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
с положительным старшим коэффициентом. Заметим, что 
при всех значениях параметра a. Значит, чтобы уравнение 
имело ровно один корень на отрезке 
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
Получаем неравенство
