PDF-версии: 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14.
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
Решение. а) Так как
и 
то 
и 
Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости 
и 
по параллельным прямым, поэтому она пересекает ребро 
в такой точке Q, что прямая TQ параллельна прямой 
Значит, треугольники 
и 
подобны, а поскольку 
то и 
Значит, 
и 
б) Так как прямая 
перпендикулярна плоскости 
опустим перпендикуляр 
из точки 
на прямую EQ пересечения этих плоскостей. Угол 
будет искомым. Найдём 
Для этого проведём в трапеции 
высоту 
(очевидно, L — середина 
). Теперь, вычисляя двумя способами площадь треугольника 
найдём 
то есть 
Тогда 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б) б) 
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
и 
и 
Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости 
то и 
Значит, 
и 
(очевидно, L — середина 
Тогда тангенс искомого угла равен 
б) 
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
и 
по параллельным отрезкам. Имеем 
и 
Значит, треугольники 
и 
подобны, причём прямые 
и 
параллельны, прямые 
и 
тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
высоту 
(L — середина 
найдём 
то есть 
