РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 15 № 507635 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка 8 конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Левая часть неравенства имеет смысл при $x больше 0,0,5x не равно 1$ и $0,125x не равно 1,$ то есть при $x больше 0,x не равно 2$ и $x не равно 8.$ При этих условиях получаем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 3.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 3.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 3.$

Сделаем замену $y= логарифм по основанию 2 x,$ тогда

$дробь: числитель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: y минус 1 конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: y левая круглая скобка y минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: y минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше или равно 0, новая строка 1 меньше y меньше или равно 5. конец совокупности$

Откуда $0 меньше x меньше или равно 1$ или $2 меньше x меньше или равно 32.$ Из полученного набора нужно ещё исключить точку 8. Получаем ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507635

$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая квадратная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

2.  Тип 15 № 507646 Добавить в вариант

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка 16 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 8x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 3 конец дроби меньше или равно 1.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 8x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 3 конец дроби меньше или равно 1.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 8x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 3 конец дроби меньше или равно 1.$

Сделаем замену $t= логарифм по основанию 2 x,$ тогда

$дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t меньше или равно минус 1, новая строка 0 меньше или равно t меньше 3. конец совокупности$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

$совокупность выражений новая строка 0 меньше x меньше или равно 0,5, новая строка 1 меньше или равно x меньше 8. конец совокупности$

Из полученного набора нужно ещё исключить точку 2. Таким образом, множество решений исходного неравенства: $левая круглая скобка 0;0,5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;0,5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507646

$левая круглая скобка 0;0,5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

3.  Тип 15 № 511459 Добавить в вариант

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,25x правая круглая скобка 16 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Решение. Левая часть неравенства имеет смысл при $x больше 0,0,25x не равно 1$ и $0,125x не равно 1,$ то есть при $x больше 0,x не равно 4$ и $x не равно 8.$ При этих условиях получаем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 8x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,25x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,25 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 3 конец дроби меньше или равно 1.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 8x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,25x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,25 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 3 конец дроби меньше или равно 1.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 8x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,25x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,25 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 3 конец дроби меньше или равно 1.$

Сделаем замену $t= логарифм по основанию 2 x,$ тогда

$дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 3, знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t меньше или равно минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , новая строка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно t меньше 3. конец совокупности$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

$\left левая квадратная скобка \beginalign новая строка 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени к орень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби , новая строка 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка меньше или равно x меньше 8. \endalign$

Исключая из найденных решений число 4, лежащее вне области определения уравнения, находим множество решений исходного неравенства: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени к орень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка ; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 8 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени к орень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка ; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 8 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511459

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени к орень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка ; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 8 правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507635	$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая квадратная скобка .$
2	507646	$левая круглая скобка 0;0,5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка .$
3	511459	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени к орень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка ; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 8 правая круглая скобка .$