Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 10 плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 10 правая круглая скобка \leqslant2x минус 1.$

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

$левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 10 плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 10 правая круглая скобка \leqslant2x минус 1 равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 5 5 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка равносильно$ $левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 10 плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 10 правая круглая скобка \leqslant2x минус 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 5 5 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби больше 0, новая строка 10 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 5 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка . конец системы$

Решим второе неравенство полученной системы:

$10 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: 5 конец дроби равносильно 4 в степени x левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби .$

Пусть $4 в степени x =y,$ тогда имеем:

$y в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$

Откуда, учитывая первое неравенство системы, получаем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше 4 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно минус логарифм по основанию 4 10 меньше x меньше или равно минус логарифм по основанию 4 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 10; минус логарифм по основанию 4 5 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507503

$левая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 10; минус логарифм по основанию 4 5 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.  Тип 15 № 507682 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 6 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно x минус 1.$

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

$левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 6 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно x минус 1 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$ $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 6 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно x минус 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби больше 0, новая строка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка . конец системы$

Решим второе неравенство полученной системы:

$6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно 2 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби .$

Пусть $2 в степени x =y,$ тогда неравенство примет вид:

$y в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Откуда, учитывая первое неравенство системы, получаем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше 2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно минус логарифм по основанию 2 6 меньше x меньше или равно минус логарифм по основанию 2 3.$

Ответ: $левая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 6; минус логарифм по основанию 2 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507682

$левая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 6; минус логарифм по основанию 2 3 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.  Тип 15 № 511438 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $2x логарифм по основанию 3 6 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка \leqslant2x плюс 1.$

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

$2x логарифм по основанию 3 6 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка \leqslant2x плюс 1 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 4 в степени x минус 2 больше 0, новая строка 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка . конец системы$

Решим второе неравенство полученной системы:

$6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка равносильно 4 в степени x левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно 16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени x минус 3 \leqslant0.$

Пусть $4 в степени x =y,$ тогда имеем:

$y в квадрате минус 2y минус 3 меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно y меньше или равно 3.$

Откуда, учитывая первое неравенство системы, получаем:

$2 меньше 4 в степени x меньше или равно 3 равносильно 0,5 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 4 3.$

Ответ: $левая круглая скобка 0,5; логарифм по основанию 4 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0,5; логарифм по основанию 4 3 правая квадратная скобка .$

511438

$левая круглая скобка 0,5; логарифм по основанию 4 3 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

4.  Тип 15 № 511471 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 6 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно x плюс 1.$

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

$левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 6 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно x плюс 1 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$ $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 6 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно x плюс 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 3 в степени x минус 1 больше 0, новая строка 6 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка . конец системы$

Решим второе неравенство полученной системы:

$6 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно 3 в степени x левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 12 равносильно 9 в степени x минус 3 в степени x минус 12\leqslant0.$

Пусть $3 в степени x =y,$ тогда неравенство примет вид:

$y в квадрате минус y минус 12 меньше или равно 0 равносильно минус 3 меньше или равно y \leqslant4.$

Откуда, учитывая первое неравенство системы, получаем:

$1 меньше 3 в степени x меньше или равно 4 равносильно 0 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 3 4.$

Ответ: $левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 3 4 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 3 4 правая квадратная скобка .$

511471

$левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 3 4 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: