Ре­ше­ние. Пусть Q  — центр ис­ко­мой окруж­но­сти ра­ди­у­са х, М  — точка ка­са­ния с дан­ной окруж­но­стью, В  — точка ка­са­ния с одной из сто­рон дан­но­го угла с вер­ши­ной А. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му ∠BAQ  =  30°. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BAQ на­хо­дим, что AQ  =  2QB  =  2x. Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).

Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му AO  =  AQ + QM + MO, или 10  =  2x + x + 4, от­ку­да на­хо­дим, что x  =  2.

Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),

тогда AQ  =  AO + OM + MQ, или 2x  =  10 + x + 4, от­ку­да x  =  14.

Ответ: 2 или 14.

Ре­ше­ние. Пусть Q  — центр ис­ко­мой окруж­но­сти ра­ди­у­са x, B  — точка ка­са­ния одной из сто­рон дан­но­го угла с вер­ши­ной A. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му ∠BAQ  =  30°. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BAQ на­хо­дим, что AQ  =  2QB  =  2x. Рас­смот­рим слу­чай внеш­не­го ка­са­ния окруж­но­стей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO  =  AQ + QO, или 10  =  2x + (x + 4), от­ку­да на­хо­дим, что x  =  2.

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ  =  AO + OQ, или 2x  =  10 + (4 + x), от­ку­да x  =  14.

Рас­смот­рим слу­чай внут­рен­не­го ка­са­ния окруж­но­стей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO  =  AQ + QO, или 10  =  2x + (x − 4), от­ку­да на­хо­дим, что

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ  =  AO + OQ, или 2x  =  10 + (x − 4), от­ку­да x  =  6.

Ответ: 2; 14; 6.

Ре­ше­ние. Пусть Q  — центр ис­ко­мой окруж­но­сти ра­ди­у­са х, М  — точка ка­са­ния с дан­ной окруж­но­стью, В  — точка ка­са­ния с одной из сто­рон дан­но­го угла с вер­ши­ной А. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BAQ на­хо­дим, что Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).

Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му или от­ку­да на­хо­дим, что

Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),

тогда или от­ку­да

Ответ: 3 или 21.

Ре­ше­ние. Пусть Q  — центр ис­ко­мой окруж­но­сти ра­ди­у­са x, B  — точка ка­са­ния одной из сто­рон дан­но­го угла с вер­ши­ной Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BAQ на­хо­дим, что Рас­смот­рим слу­чай внеш­не­го ка­са­ния окруж­но­стей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то или от­ку­да на­хо­дим, что

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то или от­ку­да

Рас­смот­рим слу­чай внут­рен­не­го ка­са­ния окруж­но­стей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то или от­ку­да на­хо­дим, что

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то или от­ку­да

Ответ: 1; 7; 3.