РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 13 № 484555 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 6 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 4 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: минус 7 косинус x конец аргумента =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Если $косинус x больше 0,$ то решений нет. Если $косинус x=0,$ то $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ Если $косинус x меньше 0,$ то $6 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 4=0,$ откуда $синус x= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ или $синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Уравнение $синус x= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ не имеет решений. Учитывая, что $косинус x меньше 0,$ из уравнения $синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ получаем: $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности (см. рис.) найдём корни из отрезка $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая квадратная скобка .$ Получим числа: $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

484555

$левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

2.  Тип 13 № 511289 Добавить в вариант

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента =0.$

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение, рассмотрев несколько случаев. Если $синус x меньше 0,$ то решений нет.

Если $синус x=0,$ то $x= Пи k,k принадлежит Z .$

Если $синус x больше 0,$ то $2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x плюс 2=0,$ откуда $косинус x=2$ или $косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Уравнение $косинус x=2$ не имеет решений. Учитывая, что $синус x больше 0,$ из уравнения $косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ получаем: $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$ Длина данного отрезка менее $2 Пи ,$ значит,

— из серии $Пи k,k принадлежит Z$ не более двух чисел принадлежат данному отрезку, это числа $минус 2 Пи$ и $минус Пи ;$

— из серии $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z$ не более одного числа принадлежит данному отрезку, это число $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511289

а) $левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус Пи .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484555	$левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$
2	511289	а) $левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус Пи .$