Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  Отбор кор­ней сде­ла­ем путем ре­ше­ния двой­но­го не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но целых n.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть для опре­де­лен­но­сти сто­ро­ны ос­но­ва­ния, как и в под­пунк­те б) будет равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 3. По­ме­стим за­дан­ную приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты не­ко­то­рых точек: Зная, что точки B, D₁, F₁ лежат в плос­ко­сти β, будем ис­кать урав­не­ние се­ку­щей плос­ко­сти α:

Из пер­во­го урав­не­ния: b  =  d.

Из урав­не­ния (3) вы­чтем урав­не­ние (2), по­лу­чим:

Под­ста­вив по­лу­чен­ные зна­че­ния а и b в урав­не­ние (3), будем иметь:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид: или

А урав­не­ние плос­ко­сти DCC₁: или

Нор­маль­ные век­то­ры этих двух плос­ко­стей:

зна­чит, от­ку­да:

б)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро приз­мы CC₁ в точке N, а ребро AA₁ в точке M. Под­став­ляя из­вест­ные абс­цис­сы и ор­ди­на­ты этих точек в урав­не­ние плос­ко­сти α, най­дем их ап­пли­ка­ты:

Ана­ло­гич­но

Итак, по­лу­чен­ное се­че­ние пред­став­ля­ет собой пя­ти­уголь­ник BND₁F₁M, про­ек­ци­ей ко­то­ро­го на ниж­нее ос­но­ва­ние приз­мы будет пя­ти­уголь­ник ABCDF.

Не­труд­но найти ко­си­нус угла между плос­ко­стью α и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем приз­мы. Нор­маль­ный век­тор плос­ко­сти α был най­ден рань­ше, он имеет вид:

Ниж­нее ос­но­ва­ние приз­мы имеет урав­не­ние: z  =  0, ее нор­маль­ный век­тор

Если φ   — угол между се­че­ни­ем и ука­зан­ным ос­но­ва­ни­ем приз­мы, то

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда:

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x.

Итак, ис­ко­мые зна­че­ния х:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть ка­те­ты за­дан­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равны a и b, ги­по­те­ну­за равна c. Пре­жде до­ка­жем, что ра­ди­ус r окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник, может быть вы­чис­лен по фор­му­ле Будем рас­суж­дать так:

Из­вест­но, что

Если нам удаст­ся до­ка­зать, что вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство для за­дан­но­го тре­уголь­ни­ка, то цель будет до­стиг­ну­та.

(по­след­нее ра­вен­ство верно для лю­бо­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка). Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен Тогда диа­метр этой окруж­но­сти d  =  a + b − c.

Как из­вест­но, диа­метр окруж­но­сти D, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, будет равен его ги­по­те­ну­зе, т. е. с.

Таким об­ра­зом, d + D  =  a + b − c + c  =  a + b, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть AC  =  b, BC  =  a, AH  =  b₁, BH  =  a₁, CH  =  h; r_c, r_b, r_a  — ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABC, ACH и BCH со­от­вет­ствен­но. Тогда по ска­зан­но­му выше:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вый объ­ект будет на­прав­ле­но х ра­бо­чих, су­точ­ная зар­пла­та ко­то­рых со­ста­вит Тогда на вто­рой объ­ект будет на­прав­ле­но ра­бо­чих  — су­точ­ная за­ра­бот­ная плата со­ста­вит В день на­чаль­ник будет дол­жен пла­тить ра­бо­чим у. е.

Рас­смот­рим функ­цию при Это квад­ра­тич­ная функ­ция, стар­ший ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен, сле­до­ва­тель­но, она имеет наи­мень­шее зна­че­ние при x₀  =  4,8. За­ме­тим, что точка ми­ни­му­ма не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ис­сле­ду­е­мая функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в точке 4 или в точке 5. Най­дем и срав­ним эти зна­че­ния:

Таким об­ра­зом, на мно­же­стве на­ту­раль­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке 5. По­это­му не­об­хо­ди­мо на­пра­вить 5 ра­бо­чих на пер­вый объ­ект, 19 ра­бо­чих  — на вто­рой объ­ект. Зар­пла­та ра­бо­чих со­ста­вит 461 у. е.

Ответ: 5 ра­бо­чих на 1-⁠й объ­ект, 19 ра­бо­чих на 2-⁠й объ­ект; 461 у. е.

Ре­ше­ние. Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы за­да­ет пару окруж­но­стей: окр.(D(−3; 7); 3), про­хо­дя­щую через точку E и окр.(C(−3; −7); 3), про­хо­дя­щую через точку А.

Вто­рое урав­не­ние за­да­ет окр. , (см. рис.)

Ис­ход­ная си­сте­ма будет иметь ровно три ре­ше­ния лишь в двух слу­ча­ях:

1)  Если у окруж­но­стей с цен­тром В и с цен­тром D будет един­ствен­ная общая точка (ка­са­ние внут­рен­нее) и при этом окр. пе­ре­се­чет окруж­ность с цен­тром С в двух точ­ках.

2.  Если у окруж­но­стей с цен­тром В и с цен­тром С будет един­ствен­ная общая точка (ка­са­ние внеш­нее), при­чем окр. пе­ре­се­чет окруж­ность с цен­тром D в двух точ­ках.

Рас­смот­рим слу­чай 1.

Мы по­лу­чи­ли одно из ис­ко­мых зна­че­ний от­ку­да

Те­перь рас­смот­рим слу­чай 2.

Нами по­лу­че­но дру­гое ис­ко­мое зна­че­ние от­ку­да

Ответ: 144; 256.

Ре­ше­ние. а)  Пусть X - ис­ко­мое число. Т. к. оно де­лит­ся и на 2, и на 3, то

Х будет наи­мень­шим, если где n и k - на­ту­раль­ные числа.

Т. к. это точ­ный квад­рат (1), а

это точ­ный куб (2), по­лу­ча­ем, что и де­лят­ся на 2, а и де­лят­ся на 3. Наи­мень­шие n и k, удо­вле­тво­ря­ю­щие (1) и (2) это а число

б)  Ана­ло­гич­но пунк­ту а) где n и k - на­ту­раль­ные числа.

Т. к. это точ­ный куб (3), а это точ­ный квад­рат (4), имеем: и де­лят­ся на 3, а и де­лят­ся на 2. Наи­мень­шие n и k, удо­вле­тво­ря­ю­щие (1) и (2) это а число

в)Ана­ло­гич­но пунк­там а) и б) где n, k и p - на­ту­раль­ные числа. Т. к. точ­ный квад­рат (5), а точ­ный куб (6) и (7) яв­ля­ет­ся пятой сте­пе­нью числа, имеем: крат­ны 2; крат­ны 3, крат­ны 5. Наи­мень­шие n, k и p удо­вле­тво­ря­ю­щие (5), (6) и (7), та­ко­вы: а число

Ответ: а)648; б)432; в)