Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Сде­ла­ем за­ме­ну пе­ре­мен­ной по­лу­чим:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

б)  Длина от­рез­ка мень­ше 2π, а рас­сто­я­ние между со­сед­ни­ми чле­на­ми в най­ден­ных се­ри­ях равно 2π. Сле­до­ва­тель­но, из каж­дой серии на от­рез­ке может ле­жать не более од­но­го члена. Оче­вид­но, что под­хо­дят ре­ше­ния, со­от­вет­ству­ю­щие k = 0, это числа и

Ответ: а) б) и

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка P  — точка на ребре C₁D₁ такая, что C₁P : PD₁  =  1 : 3. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да сле­ду­ет, что пря­мые MN и OP па­рал­лель­ны, а зна­чит, точка  P при­над­ле­жит плос­ко­сти α.

Пусть пря­мые A₁P и B₁C₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, пря­мые KO и C₁C  — в точке Q, а пря­мые KO и BB₁  — в точке R (см. рис.). Если плос­кость α со­став­ля­ет рав­ные углы с плос­ко­стя­ми ABC, BB₁C и DCC₁, то пло­ща­ди про­ек­ций A₁KR на эти плос­ко­сти равны. Сле­до­ва­тель­но,

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KC₁P и KB₁A₁ по двум углам по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

Далее, из сим­мет­рии от­но­си­тель­но точки O, BR  =  C₁Q. Пусть C₁D₁  =  x, тогда:

от­ку­да и Итак, сле­до­ва­тель­но,

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что

Тре­уголь­ни­ки PKQ и A₁KR по­доб­ны по двум углам с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия а тогда Зна­чит,

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

Левая часть не­ра­вен­ства опре­де­ле­на при При не­ра­вен­ство вы­пол­не­но, по­сколь­ку левая часть не­от­ри­ца­тель­на, а пра­вая  — от­ри­ца­тель­на. При не­ра­вен­ство можно воз­ве­сти в квад­рат. По­лу­чим:

от­ку­да

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. В усло­вии за­да­чи при­ве­де­ны го­до­вые про­цент­ные став­ки. Ме­сяч­ные став­ки про­пор­ци­о­наль­но мень­ше: за два ме­ся­ца хра­не­ния денег будет на­чис­ле­но 6 : 12  =  0,5 (%) от суммы вкла­да, за 4 ме­ся­ца будет на­чис­ле­но 18 : 12  =  1,5 (%), а за 6 ме­ся­цев будет на­чис­ле­но 12 : 12  =  1 (%). За­ме­тим, что усло­вие за­да­чи не­про­ти­во­ре­чи­во, по­сколь­ку 10% боль­ше, чем каж­дая из над­ба­вок в раз­ме­ре 0,5%, 1% и 1,5%.

Пусть пер­во­на­чаль­но сумма вкла­да была равна K у. е., со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

Ме­ся­цы	На­чис­ле­ние банка, (у. е.)	Ве­ли­чи­на вкла­да к на­ча­лу сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца с уче­том до­пол­ни­тель­но­го взно­са (у. е.)
1		1,1K
2		1,2K
3		1,3K
4		1,4K
5		1,5K
6		(до­пол­ни­тель­но­го вкла­да не было)

За пол­го­да банк на­чис­лил

то есть

Ответ: 7,7.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда имеем:

В че­ты­рех­уголь­ник BCDN впи­са­на окруж­ность. Сле­до­ва­тель­но,

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABN:

от­ку­да по­лу­ча­ем Тогда от­ку­да сле­ду­ет тре­бу­е­мое.

б)  Пусть CH  — вы­со­та, про­ве­ден­ная к сто­ро­не AD. Тогда CH  — диа­метр ис­ко­мой окруж­но­сти. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ACD:

от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CHD:

Ра­ди­ус окруж­но­сти равен по­ло­ви­не диа­мет­ра, зна­чит,

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Если то гра­фи­ки обеих функ­ций сов­па­да­ют с пря­мой и не огра­ни­чи­ва­ют име­ю­щую пло­щадь фи­гу­ру. Най­дем абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков для

Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков C и D, где Гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке а гра­фик   — в точке

Гра­фи­ки функ­ций огра­ни­чи­ва­ют тре­уголь­ник BCD, со­сто­я­щий из тре­уголь­ни­ков ABC и ABD с общей сто­ро­ной AB. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCD:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCD боль­ше 6, но не боль­ше 12, если

Рас­смот­рим слу­чай найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков:

В этом слу­чае где Гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке а гра­фик   — в точке

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCD:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCD боль­ше 6, но не боль­ше 12, если

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты рас­смот­рен­ных слу­ча­ев, по­лу­ча­ем, что или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, число 1236 удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи.

б)  Во-пер­вых, под­хо­дит любое число с нулем в за­пи­си. Можно тремя спо­со­ба­ми вы­брать место для этого нуля, потом де­вя­тью спо­со­ба­ми вы­брать первую цифру, вось­мью и семью  — осталь­ные две. Итак, таких чисел Дру­гие ва­ри­ан­ты не под­хо­дят. В самом деле, пусть Тогда

От по­ряд­ка цифр это не­ра­вен­ство не за­ви­сит.

в)  Будем ис­кать под­хо­дя­щий набор цифр и упо­ря­до­чим потом цифры по воз­рас­та­нию. Ни одна из цифр не может быть равна нулю. Ясно, что по­сколь­ку не может быть крат­но 11. Если k  =  98, то две цифры в числе долж­ны быть се­мер­ка­ми. Пусть c  =  d  =  7, тогда

Зна­чит, одно из чисел a – 2 и b – 2 не мень­ше 8, то есть a или b  — не цифры.

Если k  =  97, то долж­но быть крат­но 97, что не­воз­мож­но.

Если k  =  96, то

зна­чит одна из цифр крат­на 3, то есть равна или 3, или 6 или 9. Рас­смот­рим эти слу­чаи.

Пусть d  =  3, зна­чит,

тогда хотя бы одна из остав­ших­ся цифр крат­на 4, то есть равна или 4, или 8. Если c  =  4, то тогда одна из остав­ших­ся цифр тоже крат­на 4. Если b  =  4, то что не­воз­мож­но. Если b  =  8, то что тоже не­воз­мож­но. Если c  =  8, то тогда одна из остав­ших­ся цифр крат­на 2. Если b  =  2, то что не­воз­мож­но. Если b  =  4, то   — не­воз­мож­но. Если b  =  8, то что тоже не­воз­мож­но. Зна­чит, среди цифр числа нет цифры 3.

Пусть d  =  6, зна­чит,

тогда хотя бы одна из остав­ших­ся цифр крат­на 4, то есть равна или 4, или 8. Если c  =  4, то тогда одна из остав­ших­ся цифр крат­на 2. Если b  =  2, то что не­воз­мож­но. Если b  =  4, то что тоже не­воз­мож­но. Если c  =  8, то тогда одна из остав­ших­ся цифр крат­на 2. Если b  =  2, то что не­воз­мож­но. Если b  =  4, то   — не­воз­мож­но. Если b  =  8, то что тоже не­воз­мож­но. Зна­чит, среди цифр числа нет цифры 6.

Пусть d  =  9, зна­чит,

тогда хотя бы одна из остав­ших­ся цифр крат­на 4, то есть равна или 4, или 8. Если c  =  4, то тогда одна из остав­ших­ся цифр тоже крат­на 4. Если b  =  4, то что не­воз­мож­но. Если b  =  8, то что тоже не­воз­мож­но. Если c  =  8, то тогда одна из остав­ших­ся цифр крат­на 2. Если b  =  2, то что не­воз­мож­но. Если b  =  4, то   — не­воз­мож­но. Если b  =  8, то Зна­чит, един­ствен­ный воз­мож­ный набор цифр это 9, 8, 8 и 5. Наи­мень­шее число, со­став­лен­ное из этих цифр,  — число 5889.

Ответ: а)  да, б)  1512, в)  5889.