Ре­ше­ние. а)  По фор­му­ле ко­си­ну­са двой­но­го угла спра­вед­ли­вы тож­де­ства

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­чим числа:

Ответ: а)   б)  

Ре­ше­ние. а)  По усло­вию по­это­му от­ре­зок MN па­рал­ле­лен сто­ро­не AC. От­ре­зок PQ  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ADC, зна­чит, от­ре­зок PQ па­рал­ле­лен сто­ро­не AC. Сле­до­ва­тель­но, от­рез­ки MN и PQ па­рал­лель­ны. Тогда точки M, N, P и Q лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Пусть h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды ABCD, про­ве­ден­ная к грани ACD, S  — пло­щадь грани ACD. Тогда

Далее,

Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость MPN делит объем ABCD в от­но­ше­нии 11 : 7.

Ответ: б) 11 : 7.

Ре­ше­ние. На об­ла­сти опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства все вы­ра­же­ния, кроме при­ни­ма­ют толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. По­это­му не­ра­вен­ство верно тогда и толь­ко тогда, когда на ОДЗ вы­пол­не­но не­ра­вен­ство По­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на­чаль­ный ка­пи­тал равен S тыс. руб., а суммы на де­по­зи­тах еже­год­но уве­ли­чи­ва­ют­ся в и раз. По про­ше­ствии пер­во­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов на сче­тах было тыс. руб. со­от­вет­ствен­но. Если бы вклад­чик пер­во­на­чаль­но по­ло­жил ка­пи­та­ла на вклад «Ра­дост­ный», а ка­пи­та­ла на вклад «На­деж­ный», то через год на сче­тах было бы тыс. руб.

Решая си­сте­му урав­не­ний от­но­си­тель­но k₁ и k₂, на­хо­дим:

К концу вто­ро­го года сумма вкла­дов до­стиг­ла ве­ли­чи­ны По усло­вию она равна 463 200 руб., от­ку­да по­лу­ча­ем:

Ис­ко­мая ве­ли­чи­на суммы вкла­дов к концу вто­ро­го года при вло­же­нии ка­пи­та­ла на вклад «На­деж­ный» и на вклад «Ра­дост­ный» равна:

Ответ: 490 800 руб­лей.

При­ме­ча­ние Решу ЕГЭ.

Не со­всем по­нят­но, зачем вклад­чик по­ме­стил боль­шую часть сво­е­го ка­пи­та­ла под мень­ший про­цент.

Ре­ше­ние. а)  Пусть точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей. Тогда DO₁ и DO₂  — бис­сек­три­сы углов CDA и BDA со­от­вет­ствен­но. Тогда

б)  За­ме­тим, что По­это­му тре­уголь­ни­ки O₁DM и DO₂N по­доб­ные. Сле­до­ва­тель­но,

Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Таким об­ра­зом, от­ку­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть (x, y)  — ре­ше­ние си­сте­мы. Тогда при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a левая часть пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы есть сумма рас­сто­я­ний от точки (x, y) до точек (2, a) и (5, a), ле­жа­щих на пря­мой y  =  a, па­рал­лель­ной оси абс­цисс. Но рас­сто­я­ние между точ­ка­ми (2, a) и (5, a) равно 3, и по­это­му пер­вое урав­не­ние ис­ход­ной си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ме

Для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вто­рое урав­не­ние ис­ход­ной си­сте­мы имело ровно одно ре­ше­ние на от­рез­ке

Рас­смот­рим квад­ра­тич­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том. За­ме­тим, что при всех зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a. Зна­чит, чтобы урав­не­ние имело ровно один ко­рень на от­рез­ке не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство По­лу­ча­ем не­ра­вен­ство

По­сколь­ку любое ре­ше­ние по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства долж­но удо­вле­тво­рять усло­вию и по усло­вию a  — целое число, то ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства могут быть толь­ко Из этих усло­вий про­вер­кой по­лу­ча­ем все ре­ше­ния: −2, −1, 0, 1.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер,

б)  За­ме­тим, что Если n крат­но 9, то и s крат­но 9, и тогда крат­но 81. Если же n не крат­но 9, то и s не крат­но 9, и тогда не может быть крат­но 3³.

в)  За­ме­тим, что Оста­лось до­ка­зать, что числа 1787, 1788, 1789, 1790, 1791 не под­хо­дят. За­ме­тим, что то есть По­это­му если ука­зан­ное нам число имеет про­стой де­ли­тель, боль­ший 17, то он вхо­дит в раз­ло­же­ние n.

Число 1787 про­стое (до­ста­точ­но про­ве­рить де­ли­мость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Рас­смот­рим но числа

не под­хо­дят. Число 1789 про­стое (до­ста­точ­но про­ве­рить де­ли­мость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). но числа

не под­хо­дят. Оста­лось число но числа 199 и не под­хо­дят

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1792.