PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Преобразуем уравнение, используя формулу косинуса двойного угла:
Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна, а правая неположительна, следовательно, равенство достигается только в том случае, когда обе части уравнения одновременно равны нулю. Получаем:
откуда следует, что 
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
Найденным значениям k соответствуют корни 
Рассмотрим вторую серию:
Найденному значению k соответствует корень 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
и 
Через точки M и N проведена плоскость α параллельно прямой CQ.
делит объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
откуда 
также подобны треугольники BB1K и NC1K, откуда 
Следовательно, 
откуда 
Вычислим объемы двух оставшихся пирамид:
то
получим:
и 
равносильны. Отсюда получаем:
млн руб.
Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы годовая прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции p = 14 тыс. руб. за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?
и 
Квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при старшем члене достигает наибольшего значения в точке 
внесем данные в таблицу.
Кроме того, 
и 
значит, S1 и S3 — корни уравнения 
Корнями этого же уравнения являются S2 и S4, откуда следует, что 
или 
Из условия 
получаем 
следовательно, отрезок AO является медианой треугольника ABD.
тогда
и 
поэтому
где 
Функция 
является возрастающей как произведение двух положительных возрастающих функций. Тогда уравнение 
равносильно уравнению
не имеет корней, при 
имеет один корень, при 
имеет два корня. Дискриминант второго уравнения совокупности равен 
При 
оно не имеет корней, при 
имеет один корень, при 
имеет два корня.
а второе — корни 
и 
и 
а второе — корень 
каждое из уравнений имеет два различных корня. Совпадающие корни найдём из условия
первое уравнение имеет корни 
и 
а второе — корни 
и 
значит, получить такое число нельзя.
Значит, ответ 